【正文】 導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，如錐面 的 頂點(diǎn) (0,0,1)，偏導(dǎo)數(shù)不存在，但頂點(diǎn)是極值點(diǎn) . 221 yxz ???定理 (極值的充分條件 ) 設(shè)函數(shù) z=f(x,y)在點(diǎn) (x0,y0)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的一階與二階偏導(dǎo)數(shù)，且 (x0,y0)是函數(shù)的一個(gè)駐點(diǎn)，即 ,記 ，則 0),(,0),( 0000 ?? yxfyxf yx),(),(),( 000000 yxfCyxfByxfA yyxyxx ???(1) 當(dāng) B2–AC0，且 A0時(shí) ,(x0,y0)為極大值點(diǎn)， f(x0,y0)為極大值；當(dāng) B2–AC0，且 A0時(shí)， (x0,y0)為極小值點(diǎn)，f(x0,y0)為極小值 . (2) 當(dāng) B2–AC0時(shí)， f(x0,y0)不是極值 . (3) 當(dāng) B2–AC=0時(shí)， f(x0,y0)可能為極值，也可能不是極值，此法失效 . ?????0),(,0),(yxfyxfyx 綜合定理 ，定理 ，對(duì)于具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) z=f(x,y)求其極值的步驟如下： ，并對(duì)每一駐點(diǎn)，求出二階偏導(dǎo)數(shù)的值 A， B， C. ),(),(),( yxfyxfyxf yyxyxx 的一切實(shí)數(shù)解，得到所有駐點(diǎn) . (x0,y0)，定出 B2–AC的符號(hào)，按照定理 f(x0,y0)是否為極值，是極大值還是極小值 . 例 3 求函數(shù) 的極值 . 的一切實(shí)數(shù)解，得駐點(diǎn) (1,0). 在 (1,0)點(diǎn)處，有 A=2， B= –1， C=2. B2–AC= –30，且 A0， 由極值的充分條件，得 f(1,0)= –1為極小值 . yxyxyxz ????? 222解 求方程組 ????????????012,022yxzyxzyx求函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù) .2 ,1 ,2 ???? yyxyxx zzz例 4 求函數(shù)