第六節(jié)多元函數(shù)的極值-在線瀏覽
2024-08-30 20:22本頁面
【正文】 ??????02,0222yaxyAxayxA根據(jù)實際問題可以斷定， A(x,y)在 D內(nèi)一定有最小值，而在 D內(nèi)只有唯一駐點 ，則該駐點就是 A(x,y)的最小值點，即當 時，面積A取得最小值 .此時高 ，即水箱為正立方體，每邊長為 時，所用材料最省 . ),( 33 aa33 , ayax ??3a3 axyaz ??三、條件極值 從上述例 5我們看到，求水箱用料最省這一實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題就是求二元函數(shù) ( 1 ) 2),( ?????? ???yaxaxyyxA在 x0， y0時的最小值問題 .但是，從函數(shù) A(x,y)的建立過程也可以看成是求三元函數(shù) A=2(xy+xz+yz) 在約束條件 xyz=a 下的最小值，這就是條件極值問題，其一般提法是： 求函數(shù) z=f(x,y)，在約束條件 下的極值，稱這種類型的極值問題為條件極值問題 .相對于條件極值，我們把函數(shù) (1)的極值問題稱為無條件極值問題 . 0),( ?yx?拉格朗日乘數(shù)法 求函數(shù) z=f(x,y)在條件 下的極值，按以下方法進行： 0),( ?yx?構(gòu)造輔助函數(shù) ，其中 稱為拉格朗日乘數(shù) . ),(),(),( yxyxfyxF ??? ???求 的偏導(dǎo)數(shù)，并建立方程組 ),( ?yxF???????????????.0),(),(,0),(),(),(,0),(),(),(yxyxFyxyxfyxFyxyxfyxFyyyxxx?????????解該方程組，得 x， y及 λ，則 (x,y)是可能極值點的坐標 .這種求條件極值的方法稱為 拉格朗日乘數(shù)法 . 例 6 設(shè)周長為 2p的矩形，繞它的一邊旋轉(zhuǎn)構(gòu)成圓柱體，求矩形的邊長各為多少時，圓柱體的體積最大
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