【正文】 P2做 x軸的垂線交曲線于點 Q2，依次重復上述過程得到一系列點： P1， Q1； P2， Q2； … ； Pn， Pk 點的坐標為(xk,0)(k＝ 1,2， … ， n)． (1)試求 xk與 xk－ 1的關系 (2≤k≤n)； ( 2 ) 求 ?? ??P 1 Q 1 ＋ ?? ??P 2 Q 2 ＋ ?? ??P 3 Q 3 ＋ ? ＋ ?? ??P n Q n . 解析： ( 1 ) 設 Pk － 1( xk － 1 ,0 ) ，由 y ′ ＝ ex,得 Qk － 1( xk － 1， e xk － 1)點處切線方程為 y － e xk － 1＝ e xk － 1( x － xk － 1) ． 由 y ＝ 0 ，得 xk＝ xk － 1－ 1 ( 2 ≤ k ≤ n ) ． ( 2 ) x1＝ 0 ， xk－ xk － 1＝－ 1 ，得 xk＝－ ( k － 1 ) ， | |P k Q k ＝ e xk＝e－ ( k － 1 )， Sn＝ | |P 1 Q 1 ＋ | |P 2 Q 2 ＋ | |P 3 Q 3 ＋ ? ＋ | |P n Q n ＝ 1 ＋ e－ 1＋ e－ 2＋ ? ＋ e－ ( n － 1 )＝1 － e－ n1 － e－ 1 ＝e － e1 － ne － 1. 2 ． ( 2 0 1 1 2n－ 1. ( 2 ) 因為 cn＝an2n ( n ∈ N*) ，所以 cn ＋ 1－ cn＝an ＋ 12n ＋ 1 －an2n ＝ an ＋ 1－ 2 an2n ＋ 1 ＝bn2n ＋ 1 ＝3 2n － 2. 當 n≥2時， Sn ＝ 4an－ 1 ＋ 2＝ 2n－ 1(3n－ 4)＋ 2；當 n＝ 1時，S1 ＝ a1 ＝ 1也適合上式． 綜上可知，所求的前 n項和公式為 Sn ＝ 2n－ 1(3n－ 4)＋ 2. 點評： 本例主要復習用等差、等比數(shù)列的定義證明一個數(shù)列為等差、等比數(shù)列，求數(shù)列通項與前 n項和，解決本題的關鍵在于由條件 Sn＋ 1＝ 4an＋ 2得出遞推公式． 3. (20222 n－ 1. (2)Sn＝ 121＋ … ＋ (n－ 1)2 n－ 1， 2Sn＝ 122＋ … ＋ (n－ 1)2 n， 兩式相減，得 Sn＝ n － 21－ … － 2n－ 1＝ n安徽卷 )在數(shù) 1和 100之間插入 n個實數(shù)，使得這 n＋ 2個數(shù)構成遞增的等比數(shù)列，將這 n＋ 2個數(shù)的乘積記作Tn，再令 an＝ lgTn， n≥1. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)設 bn＝ tan ant2tn＋ 1tn＋ 1t2(t2tn＋ 1)( tn＋ 1t2) tan ( n ＋ 3 ) ，n ≥ 1 ， 另一方面，利用 tan 1 ＝ tan [( k ＋ 1 ) － k ] ＝tan ? k ＋ 1 ? － tan k1 ＋ tan ? k ＋ 1 ? tan k ＝tan ? k ＋ 1 ? － tan ktan 1－ 1. 所以 Sn＝ ?k ＝ 1nb k＝ ?k ＝ 3n ＋ 2t an ( k ＋ 1 ) 南昌市重點中學聯(lián)考 ) 數(shù)列 { a n } 的前 n 項和為 S n ，滿足 S n ＝32a n －n2－34， 設 b n ＝ lo g 3????????a n ＋12， 求 ： ( 1 ) 數(shù)列 { b n } 的通項 b n ； ( 2 ) 數(shù)列??????????1b n 3n － 1＝ 3n， ∵ bn＝ lo g3( an＋12) ， ∴ bn＝ lo g33n＝ n . ( 2 ) 證明：由 ( 1 ) 得 1bn廣州市調(diào)研 )已知數(shù)列 {an}的前 n項和為 Sn，且滿足 Sn＝ 1－ an(n∈ N*)．各項為正數(shù)的數(shù)列 {bn}中，對于一切 n∈ N*，有 且 b1＝ 1， b2＝ 2， b3＝ 3. (1)求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項公式； (2)設數(shù)列 {anbn}的前 n項和為 Tn，求證： Tn2. ?k ＝ 1n 1bk ＋ b k ＋ 1＝ nb1 ＋ b n ＋ 1， 解析： ( 1 ) ∵ Sn＝ 1 － an， 當 n ＝ 1 時， a1＝ S1＝ 1 － a1，解得 a1＝12. 當 n ≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn － 1＝ ( )1 － a n － ( )1 － a n － 1 ， 得 2 an＝ an － 1，即anan － 1＝12. ∴ 數(shù)列 { an} 是首項為12，公比為12的等比數(shù)列 ． ∴ an＝12????????12n － 1＝12n . ∵ 對于一切 n ∈ N*，有 ?k ＝ 1n 1bk＋ bk ＋ 1＝nb1＋ bn ＋ 1， ① 當 n ≥ 2 時，有 ?k ＝ 1n － 1 1bk＋ bk ＋ 1＝n － 1b1＋ bn， ② ① － ② ，得1bn＋ bn ＋ 1＝nb1＋ bn ＋ 1－n － 1b1＋ bn， 去分母，并化簡、整理得 ( n － 1 ) bn ＋ 1－ nbn＋ b1＝ 0 ， ③ 用 n ＋ 1 替換 ③ 式中的 n ，得 nbn ＋ 2－ ( n ＋ 1 ) bn ＋ 1＋ b1＝ 0 ， ④ ③ － ④ ，整理得 bn ＋ 2－ bn ＋ 1＝ bn ＋ 1－ bn， ∴ 當 n ≥ 2 時，數(shù)列 { bn} 為等 差數(shù)列 ． ∵ b3－ b2＝ b2－ b1＝ 1， ∴ 數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列． ∵ b1＝ 1， b2＝ 2， ∴ 數(shù)列 {bn}的公差 d＝ 1. ∴ bn＝ 1＋ (n－ 1)＝ n. ( 2 ) ∵ 數(shù)列 { anbn} 的前 n 項和為 Tn， ∴ Tn＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ， ⑤ ∴12Tn＝122 ＋223 ＋ ? ＋n2n ＋ 1 ， ⑥ ⑤ － ⑥ ，得12Tn＝12＋122 ＋ ? ＋12n －n2n ＋ 1 ＝12 ????????1 －????????12n1 －12－n2n ＋ 1 ＝ 1 －n ＋ 22n ＋ 1 ， ∴ T n ＝ 2 －n ＋ 22n 2 . 5. ( 2 0 1 1 n ＝1n－1n ＋ 1， Sn＝ ?k ＝ 1nbk＝ ?k ＝ 1n ????????1k－1k ＋ 1＝ 1 －1n ＋ 11 . 數(shù)列與算法的綜合 (2022常州市模擬 )根據(jù)如圖所示的程 序框圖，將輸出的 x， y值依次分別記為 x1， x2， … ， xn， … ， x2022； y1， y2， … ， yn， … ， y2022. (1)求數(shù)列 {xn}的通項公式 xn； (2)寫出 y1， y2， y3， y4，由此猜想出數(shù)列 {yn}的一個通項公式 yn，并證明你的結論； (3)求 Zn＝ x1y1＋ x2y2＋ … ＋ xnyn (x∈ N*， n≤2022)． 解析： (1)由框圖，知數(shù)列 {xn}中， x1＝ 1， xn＋ 1＝ xn＋ 2， xn＝ 1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－ 1(n∈ N*， n≤2022)． (2)由框圖，知數(shù)列 {yn}中， yn＋ 1＝ 3yn＋ 2， ∴ y1＝ 2， y2＝ 8， y3＝ 26， y4＝ 80. 由 yn＋ 1＝ 3yn＋ 2，得 yn＋ 1＋ 1＝ 3(yn＋ 1)， ∴ ＝ 3， y1＋ 1＝ 3. ∴ 數(shù)列 {yn＋ 1}是以