【正文】 第六節(jié) 數(shù)列的綜合問題 第五章 數(shù)列 課前自修 2 考點(diǎn)探究 3 感悟高考 4 考綱要求 1 第六節(jié) 數(shù)列的綜合問題 能利用等差、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決數(shù)列的綜合問題． 一、等差、等比數(shù)列的一些重要結(jié)論 1．等差數(shù)列 {an}中，若 m＋ n＝ p＋ q，則 am＋ an＝ ap＋ aq. 2．等比數(shù)列 {an}中，若 m＋ n＝ p＋ q，則 aman＝ apaq. 3．等差數(shù)列 {an}的任意連續(xù) m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， S4m － S3m， …… 仍為等差數(shù)列． 4．等比數(shù)列 {an}的任意連續(xù) m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列 Sm， S2m－ Sm， S3m－ S2m， S4m － S3m， …… 仍為等比數(shù)列 (m為偶數(shù)且公比為－ 1的情況除外 )． 5．兩個(gè)等差數(shù)列 {an}與 {bn}的和、差的數(shù)列 {an＋ bn}，{an－ bn}仍為等差數(shù)列． 6．兩個(gè)等比數(shù)列 {an}與 {bn}的積、商、倒數(shù)的數(shù)列{anbn}， 仍為等比數(shù)列． 7．等差數(shù)列 {an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列． 8．等比數(shù)列 {an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列． 9．若 {an}為等差數(shù)列，則 {can} (c0)是等比數(shù)列． 10．若 {bn}(bn0)是等比數(shù)列，則 {logcbn} (c0且 c≠1)是等差數(shù)列． ??????????a nbn ， ??????????1bn 二、四個(gè)數(shù)成等差、等比數(shù)列的設(shè)法 三個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法 ： a － d ， a ， a ＋ d ； 四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法 ： a － 3 d ， a － d ， a ＋ d ， a ＋ 3 d . 三個(gè)數(shù)成等比的設(shè)法 ：aq， a ， aq ； 四個(gè)數(shù)成等比的 錯(cuò)誤． ．設(shè)法 ：aq3 ，aq， aq ， aq3( 因?yàn)槠涔葹?q20 ， 對(duì)于公比為負(fù)的情況不能包括 ) ． 三、用函數(shù)的觀點(diǎn)理解等差數(shù)列、等比數(shù)列 1．對(duì)于等差數(shù)列 an＝ a1＋ (n－ 1)d＝ dn＋ (a1－ d)，當(dāng) d≠0時(shí)， an是關(guān)于 n的一次函數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn) (n， an)是位于直線上的若干個(gè)離散的點(diǎn)．當(dāng) d＞ 0時(shí)，函數(shù)是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞增數(shù)列； d＝ 0時(shí)，函數(shù)是常數(shù)函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是常數(shù)列； d＜ 0時(shí)，函數(shù)是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)的數(shù)列是遞減數(shù)列． 若等差數(shù)列的前 n項(xiàng)和為 Sn，則 Sn＝ pn2＋ qn(p、q∈ R)．當(dāng) p＝ 0時(shí)， {an}為常數(shù)列；當(dāng) p≠0時(shí)，可用二次函數(shù)的方法解決等差數(shù)列問題． 2．對(duì)于等比數(shù)列 an＝ a1qn－ 1，可用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)來(lái)理解． 當(dāng) a1＞ 0， q＞ 1或 a1＜ 0,0＜ q＜ 1時(shí)，等比數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列； 當(dāng) a1＞ 0,0＜ q＜ 1或 a1＜ 0， q＞ 1時(shí)，等比數(shù)列 {an}是遞減數(shù)列； 當(dāng) q＝ 1時(shí)，是一個(gè)常數(shù)列； 當(dāng) q＜ 0時(shí)，無(wú)法判斷數(shù)列的單調(diào)性，它是一個(gè)擺動(dòng)數(shù)列． 1． (2022上海市徐匯區(qū)診斷 )設(shè) {an}是首項(xiàng)大于零的等比數(shù)列，則 “ a1a2”是 “ 數(shù)列 {an}是遞增數(shù)列 ” 的 ( ) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件 C 2． (2022黃山市模擬 )設(shè)數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn(n∈ N*)，關(guān)于數(shù)列 {an}有下列三個(gè)命題： ①若數(shù)列 {an}既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列，則 an＝ an＋ 1； ②若 Sn＝ an2＋ bn(a， b∈ R)，則數(shù)列 {an}是等差數(shù)列； ③若 Sn＝ 1－ (－ 1)n，則數(shù)列 {an}是等比數(shù)列． 這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 解析： ①不妨設(shè)數(shù)列 {an}的前三項(xiàng)為 a－ d， a， a＋ d，則其又成等比數(shù)列，故 a2＝ a2－ d2， ∴ d＝ 0，即 an＝ an＋ 1；②由 Sn的公式，可求出 an＝ (2n－ 1)a＋ b，故 {an}是等差數(shù)列；③由 Sn可求出 an＝ 2(－ 1)n－ 1，故數(shù)列 {an}是等比數(shù)列．故選D. 答案： D 3． (2022湖南師大附中測(cè)試 )在數(shù)列 {an}和 {bn}中， bn是an與 an＋ 1的等差中項(xiàng)， a1＝ 2且對(duì)任意 n∈ N*都有 3an＋ 1－ an＝ 0，則數(shù)列 {bn}的通項(xiàng)公式為 ____________. 4． (2022南京外國(guó)語(yǔ)學(xué)校調(diào)研 )公差為 d(d≠0)的等差數(shù)列{an}中， Sn是 {an}的前 n項(xiàng)和，則數(shù)列 S20－ S10， S30－ S20， S40－S30也成等差數(shù)列，且公差為 100d，類比上述結(jié)論，相應(yīng)地在公比為 q(q≠1)的等比數(shù)列 {bn}中，若 Tn是數(shù)列 {bn}的前 n項(xiàng)積，則有 __________________________________． bn＝ 43－ n T 20T 10 ，T 30T 20 ，T 40T 30 也成等比數(shù)列 ， 且公比為 q 100 等差、等比數(shù)列知識(shí)的綜合 公差不為零的等差數(shù)列的第二、三、六項(xiàng)成等比數(shù)列，求公比 q. 解析： 設(shè)等差數(shù)列的通項(xiàng) a n ＝ a 1 ＋ ( n － 1 ) d ( d ≠ 0 ) ， 根據(jù)題意，得 a 2 3 ＝ a 2 a 6 ， 即 ( a 1 ＋ 2 d )2 ＝ ( a 1 ＋ d )( a 1 ＋ 5 d ) ， 解得 a 1 ＝－12d ， 所以 q ＝a 3a 2＝a 1 ＋ 2 da 1 ＋ d＝－12d ＋ 2 d－12d ＋ d＝ 3. 1．四個(gè)數(shù)，前三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列且和為 19，后三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，且和為 12，求此四個(gè)數(shù)． 解析： 設(shè)后三個(gè)數(shù)為 a － d ， a ， a ＋ d ，則 a ＝ 4 ， ∴ 前三個(gè)數(shù)為? 4 － d ?24， 4 － d , 4. ∴? 4 － d ?24＋ 4 － d ＋ 4 ＝ 19 ， ∴ d2－ 12 d － 28 ＝ 0 ， ∴ d 1 ＝－ 2 ， d 2 ＝ 14 ， ∴ 四個(gè)數(shù)為 9 , 6 , 4 , 2 或 25 ，－ 10 , 4 , 18. 數(shù)列與函數(shù)知識(shí)的綜合 (2022陜西卷 )如圖，從點(diǎn) P1(0,0)作 x軸的垂線交曲線 y＝ ex于點(diǎn) Q1(0,1)，曲線在 Q1點(diǎn)處的切線與 x軸交于點(diǎn) P2，再?gòu)?P2做 x軸的垂線交曲線于點(diǎn) Q2，依次重復(fù)上述過(guò)程得到一系列點(diǎn)： P1， Q1； P2， Q2； … ； Pn， Pk 點(diǎn)的坐標(biāo)為(xk,0)(k＝ 1,2， … ， n)． (1)試求 xk與 xk－ 1的關(guān)系 (2≤k≤n)； ( 2 ) 求 ?? ??P 1 Q 1 ＋ ?? ??P 2 Q 2 ＋ ?? ??P 3 Q 3 ＋ ? ＋ ?? ??P n Q n . 解析： ( 1 ) 設(shè) Pk － 1( xk － 1 ,0 ) ，由 y ′ ＝ ex,得 Qk － 1( xk － 1， e xk － 1)點(diǎn)處切線方程為 y － e xk － 1＝ e xk － 1( x － xk － 1) ． 由 y ＝ 0 ，得 xk＝ xk － 1－ 1 ( 2 ≤ k ≤ n ) ． ( 2 ) x1＝ 0 ， xk－ xk － 1＝－ 1 ，得 xk＝－ ( k － 1 ) ， | |P k Q k ＝ e xk＝e－ ( k － 1 )， Sn＝ | |P 1 Q 1 ＋ | |P 2 Q 2 ＋ | |P 3 Q 3 ＋ ? ＋ | |P n Q n ＝ 1 ＋ e－ 1＋ e－ 2＋ ? ＋ e－ ( n － 1 )＝1 － e－ n1 － e－ 1 ＝e － e1 － ne － 1. 2 ． ( 2 0 1 1 汕頭市一模 ) 已知二次函數(shù) f ( x ) ＝ ax2＋ bx 的圖象過(guò)點(diǎn) ( － 4 n , 0 ) ， 且 f ′ ( 0 ) ＝ 2 n ， n ∈ N*. ( 1 ) 求 f ( x ) 的解析式 ； ( 2 ) 若數(shù)列 { a n } 滿足1a n ＋ 1＝ f ′????????1a n， 且 a 1 ＝ 4 ， 求數(shù)列 { a n }的通項(xiàng)公式 ； ( 3 ) 記 b n ＝ a n a n ＋ 1 ， 數(shù)列 { }b n 的前 n 項(xiàng)和 T n ， 求證 ： 43≤ T n 2 . 解析： ( 1 ) 由 f ′ ( x ) ＝ 2 ax ＋ b ， ∴????? b ＝ 2 n16 n2a － 4 nb ＝ 0， 解之得 a ＝12， b ＝ 2 n ， 即 f ( x ) ＝12x2＋ 2 nx ( n ∈ N*) ． ( 2 ) 由條件得1an＋