第六節(jié)數(shù)列的綜合問題(編輯修改稿)
2024-08-16 20:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ＋12 3＋ ? ＋12 0 1 1 2 0 1 2＋12022 2 0 1 3 ＝ ( 1 －12) ＋ (12－13) ＋ ? ＋ (12 0 1 1－12022) ＋ (12022－12022) ＝ 1 －12022＝20222022. 數(shù)列與不等式的綜合 (2022廣州市調(diào)研 )已知數(shù)列 {an}的前 n項(xiàng)和為 Sn，且滿足 Sn＝ 1－ an(n∈ N*)．各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列 {bn}中，對于一切 n∈ N*，有 且 b1＝ 1， b2＝ 2， b3＝ 3. (1)求數(shù)列 {an}和 {bn}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)數(shù)列 {anbn}的前 n項(xiàng)和為 Tn，求證： Tn2. ?k ＝ 1n 1bk ＋ b k ＋ 1＝ nb1 ＋ b n ＋ 1， 解析： ( 1 ) ∵ Sn＝ 1 － an， 當(dāng) n ＝ 1 時(shí)， a1＝ S1＝ 1 － a1，解得 a1＝12. 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)， an＝ Sn－ Sn － 1＝ ( )1 － a n － ( )1 － a n － 1 ， 得 2 an＝ an － 1，即anan － 1＝12. ∴ 數(shù)列 { an} 是首項(xiàng)為12，公比為12的等比數(shù)列 ． ∴ an＝12????????12n － 1＝12n . ∵ 對于一切 n ∈ N*，有 ?k ＝ 1n 1bk＋ bk ＋ 1＝nb1＋ bn ＋ 1， ① 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，有 ?k ＝ 1n － 1 1bk＋ bk ＋ 1＝n － 1b1＋ bn， ② ① － ② ，得1bn＋ bn ＋ 1＝nb1＋ bn ＋ 1－n － 1b1＋ bn， 去分母，并化簡、整理得 ( n － 1 ) bn ＋ 1－ nbn＋ b1＝ 0 ， ③ 用 n ＋ 1 替換 ③ 式中的 n ，得 nbn ＋ 2－ ( n ＋ 1 ) bn ＋ 1＋ b1＝ 0 ， ④ ③ － ④ ，整理得 bn ＋ 2－ bn ＋ 1＝ bn ＋ 1－ bn， ∴ 當(dāng) n ≥ 2 時(shí)，數(shù)列 { bn} 為等 差數(shù)列 ． ∵ b3－ b2＝ b2－ b1＝ 1， ∴ 數(shù)列 {bn}為等差數(shù)列． ∵ b1＝ 1， b2＝ 2， ∴ 數(shù)列 {bn}的公差 d＝ 1. ∴ bn＝ 1＋ (n－ 1)＝ n. ( 2 ) ∵ 數(shù)列 { anbn} 的前 n 項(xiàng)和為 Tn， ∴ Tn＝12＋222 ＋323 ＋ ? ＋n2n ， ⑤ ∴12Tn＝122 ＋223 ＋ ? ＋n2n ＋ 1 ， ⑥ ⑤ － ⑥ ，得12Tn＝12＋122 ＋ ? ＋12n －n2n ＋ 1 ＝12 ????????1 －????????12n1 －12－n2n ＋ 1 ＝ 1 －n ＋ 22n ＋ 1 ， ∴ T n ＝ 2 －n ＋ 22n 2 . 5. ( 2 0 1 1 全國卷 ) 設(shè)數(shù)列 { a n } 滿足 a 1 ＝ 0 且11 － a n ＋ 1－11 － a n＝ 1. ( 1 ) 求 { a n } 的通項(xiàng)公式 ； ( 2 ) 設(shè) b n ＝1 － a n ＋ 1n， 記 S n ＝ ?k ＝ 1nb k ， 證明 ： S n 1 . 解析： ( 1 ) 由題設(shè)11 － an＋1－11 － an＝ 1 ???????????11 － an是公差為 1的等差數(shù)列 ． 又11 － a1＝ 1 ，故11 － an＝ n . 所以 an＝ 1 －1n＝n － 1n. ( 2 ) 證明：由 ( 1 ) 得 bn＝1 － an＋1n＝n ＋ 1 － nn ＋ 1 n ＝1n－1n ＋ 1， Sn＝ ?k ＝ 1nbk＝ ?k ＝ 1n ????????1k－1k ＋ 1＝ 1 －1n ＋ 11 . 數(shù)列與算法的綜合 (2022深圳市二模 )執(zhí)行下面框圖所描述的算法程序，記輸出的一列數(shù)依次為 a1， a2， … ， an， n∈ N*，n≤2022.(注：框圖中的賦值符號 “ ＝ ” 也可以寫成 “ ← ” 或 “ ：＝ ” ) (1)若輸入 λ＝ ，寫出輸出結(jié)果； (2)若輸入 λ＝ 2，令 bn＝ ，證明 {bn}是等差數(shù)列，并寫出數(shù)列 {an}的通項(xiàng)公式． 2 1an－ 1 解析： ( 1 ) 輸出結(jié)果為 0 ，22. ( 2 ) 由程序框圖可知， a1＝ 0 ， an＋1＝1λ － an， n ∈ N*， n ≤ 2022. 當(dāng) λ ＝ 2 時(shí)， bn＋1－ bn＝1an＋1－ 1－1an－ 1＝112 － an－ 1－1an－ 1 ＝2 － anan－ 1－1an－ 1＝－ 1 ( 常數(shù) ) ， n ∈ N*， n ≤ 2022. 所以 { bn} 是首項(xiàng) b1＝－ 1 ，公差 d ＝－ 1 的等差數(shù)列 ． 故 bn＝－ n ，1an－ 1＝－ n ，數(shù)列 { an} 的通項(xiàng)公式為 an＝ 1 －1n， n ∈ N*， n ≤ 2 0 1 1. 6． (2022常州市模擬 )根據(jù)如圖所示的程 序框圖，將輸出的 x， y值依次分別記為 x1， x2， … ， xn， … ， x2022； y1， y2， … ， yn， … ， y2022. (1)求數(shù)列 {xn}的通項(xiàng)公式 xn； (2)寫出 y1， y2， y3， y4，由此猜想出數(shù)列 {yn}的一個(gè)通項(xiàng)公式 yn，并證明你的結(jié)論； (3)求 Zn＝ x1y1＋ x2y2＋ … ＋ xnyn (x∈ N*， n≤2022)． 解析： (1)由框圖，知數(shù)列 {xn}中， x1＝ 1， xn＋ 1＝ xn＋ 2， xn＝ 1＋ 2(n－ 1)＝ 2n－ 1(n∈ N*， n≤2022)． (2)由框圖，知數(shù)列 {yn}中， yn＋ 1＝ 3yn＋ 2， ∴ y1＝ 2， y2＝ 8， y3＝ 26， y4＝ 80. 由 yn＋ 1＝ 3yn＋ 2，得 yn＋ 1＋ 1＝ 3(yn＋ 1)， ∴ ＝ 3， y1＋ 1＝ 3. ∴ 數(shù)列 {yn＋ 1}是以 3為首項(xiàng)， 3為公比的等比數(shù)列． ∴ yn＋ 1＝ 33n－ 1＝ 3n， ∴ yn＝ 3n－ 1(n∈ N*， n≤2022)． yn＋ 1＋ 1yn＋ 1 (3)Zn＝ x1y1＋ x2y2＋ … ＋ xnyn ＝ 1 (3－ 1)＋ 3 (32－ 1)＋ … ＋ (2n－ 1)(3n－ 1) ＝ 1 3＋ 3 32＋ … ＋ (2n－ 1)3n－ [1＋ 3＋ … ＋ (2n－ 1)]． 記 Sn＝ 1 3＋ 3 32＋ … ＋ (2n－ 1)3n，① 則 3Sn＝ 1 32＋ 3 33＋ … ＋ (2n－ 1) 3n＋ 1，② ①－②， 得 － 2Sn＝ 3＋ 232＋ 233＋ … ＋ 23n－ (2n－ 1)3n＋ 1 ＝ 2(3＋ 32＋ … ＋ 3n)－ 3－ (2n－ 1)3n＋ 1 ＝ 2 － 3－ (2n－ 1)3n＋ 1 ＝ 3n＋ 1－ 6－ (2n－ 1)3n＋ 1＝ 2(1－ n)3n＋ 1－ 6， ∴ Sn＝ (n－ 1)3n＋ 1＋ 3. 又 1＋ 3＋ … ＋ (2n－ 1)＝ n2， ∴ Zn＝ (n－ 1)3n
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