畢業(yè)論文--關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的樹形圖方法(編輯修改稿)
2025-02-12 21:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ntttxz????? ?21 則 nitxxztz ii ,2,1 ??????????． ．中間變量為多個 ,最終變量為多個的圖形 如 ),( vufz? ),( yxu ?? ),( yxv ?? 路徑圖為 : yxvyxuz??????, z 為 x,y 的多元復(fù)合函數(shù) .此時 ,z 到 x 有兩條路徑 ,路徑上都有兩個箭頭； z 到 y同理 .所以 xuuzxvvzxz ?????????????? ，yuuzyvvzyz ??????????????. 類似推廣到 n 個中間變量 ,m 個最終變量 : ),( 21 nuuufz ?? , 5 nitttuu mii ,2,1),( 21 ?? ?? ，路徑圖為 : mnmmtttutttutttuz??????????????????????21212211, 則jini ij dtduuztz ?????? ??1, mj ?,2,1? .特別 ,如一 ),( vufz? ),( yxu ?? ， )(xv ?? , 路徑圖為 : xvyxuz????? , 此時 z 仍為 x,y 的復(fù)合函數(shù) .z 到 x 有兩條路徑 ,但 z 到 y 只有一條路徑 .所以xuuzxvvzxz ?????????????? , yuuzyz ?????? . 再如 ),( yxvufz ? , ),( yxu ?? , ),( yxv ?? ,路徑圖為 : yyxvyxuxz????????, z 為學(xué) x,y 的多元復(fù)合函數(shù) ,Z 到 x 有 3 條路徑 ,其中一條是 z 直接到 x,z 到 6 同理 .所以 xzxuuzxvvzxz ????????????????? ,yzyuuzyvvzyz ?????????????????上兩式中 z有兩種類型對 x 及 y 的偏導(dǎo)數(shù) .其中左端的 xz?? ,yz??是把 z 看成具有中間變量及自變量x,y 的復(fù)合函數(shù)時求其偏導(dǎo)數(shù) ,右端的 xz?? ,yz??是 z 將看成四個獨立變量 u,v,x,y的函數(shù)時求其關(guān)于 x及 y的偏導(dǎo)數(shù) .為避免混淆 ,可以采用下標加以區(qū)分 .可寫成 : vuyx xzxvvzxuuzxz ,)()( ?????????????????, vuxy yzyvvzyuuzyz ,)()( ????????????????? , 其中vuxyz ,)(??同理， z=f(u,v),u= ),(),( yxvyx ?? ? 都具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) ,求 xz?? ,yz??. 因為 z是關(guān)于 u,v的函數(shù) ,而 u,v又是關(guān)于 x,y的函數(shù) ,所以 z是關(guān)于 x,y的函數(shù) .這表明 z 是因變量 ,u,v 是中間變量， x,y 是自變量 .它們之間的關(guān)系可表示為圖 1. 圖 1 圖 2 在圖（ 1）中的左端始點 z 為因變量 ,右端終點 x,y 為自變量 ,中間的點 u,v 為中間變量 ,構(gòu)成了多元復(fù)合函數(shù) )],(),([ yxyxf ?? 的樹形圖 .若以連結(jié)兩個變量的線段上 ,標 記以左端變量對右端變量的偏導(dǎo)數(shù) ,見樹形圖（ 2） ,則由始點 z 到達終點 x,y 的各條路徑 ,獲得一串導(dǎo)數(shù) —— 導(dǎo)數(shù)鏈 ,為下一步鏈鎖合成做準備 . 求 xz?? :由圖（ 2）左端始點 z出發(fā) ,沿 xuz ?? 路徑線段上標記的導(dǎo)數(shù)依次yxvyxuzyvxvvzyuxuuz? ??? ??? ??? ??? ??? ??????????????yxvyxuz 7 記錄下來 ,并作乘法 : xuuz ????? ；沿 xvz ?? 路徑 ,可得 xvvz ????? .由因變量 z 到達自變量 x 只有這兩條路徑 .將前邊所得兩個結(jié)果相加有 : xvvzxuuzxz ?????????????? （ 3） yvvzyuuzyz ?????????????? （ 4） 將公式（ 1）、（ 2）與公式（ 3）、（ 4）作比較 ,可見結(jié)果完全相同 ,這是因為例1 就是關(guān)于多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則的定理 .但是后者是經(jīng)過分析作圖、標記路徑、定導(dǎo)數(shù)鏈和鏈鎖合成步驟得來 ,過程更為簡明 ,這便是多元復(fù)合出數(shù)的樹形圖上求導(dǎo)法 .不僅使函數(shù)的結(jié)構(gòu)更加直觀 ,而且也使求偏導(dǎo)數(shù)的“鏈鎖”過程“脈絡(luò)”清晰 ,因此更易于由樹形圖上作業(yè) ,正確求得函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) .應(yīng)指出不能盲目套用本法 ,要注意條件 :因變量（即函數(shù)）存在連
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