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正文內(nèi)容

關(guān)于輪圖的猜測(cè)數(shù)畢業(yè)論文(編輯修改稿)

2025-07-15 20:01 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡介】 .(,.,.,),.,.,.(,.,.,)nmnmout noutnnmzfxzzfxgxzxxz???其中 、 和 分別表示源節(jié)點(diǎn)、中間節(jié)點(diǎn)和(1)i?)iz?(outi?匯節(jié)點(diǎn)的信息。則與它對(duì)應(yīng)的有向圖 的猜測(cè)策略為 ,NG??*1212,.,.mnFffg?()1122 1121211(,.,)..(,.,.,)guesreallrealnlguesreallreallrealrelmnmzfxxzzfxxzz???212121212,.,.,..(,.,.,)guesreallreallrealrelnguesreallreallrealreln nmxxzz顯然上述策略 與 一一對(duì)應(yīng)。以下證明猜測(cè)策略下猜測(cè)成功的概率為F*當(dāng)且僅當(dāng)信息流問題有解。1ms 猜測(cè)成功的概率為 1ms???1Prms?中 間 節(jié) 點(diǎn) 都 猜 對(duì) ?信息流問題 有解。 □Pr(|,)guesralguesraljjiixz????,NS推論 [3] 源節(jié)點(diǎn)和匯節(jié)點(diǎn)數(shù)均為 的信息流問題 可解當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)應(yīng)的n?有向圖 的猜測(cè)數(shù)滿足 。NGg(,)Gs?(三)關(guān)于猜測(cè)數(shù)的一些結(jié)論1. 有向圖的猜測(cè)數(shù)先考慮子圖和剖分圖的猜測(cè)數(shù)。定理 設(shè) 為有向圖 的子圖,則有HG, ()g(,)(,)s?g(,)(,)llHsG?2s?證明:設(shè) 和 分別為有向圖 的最優(yōu)猜測(cè)策略與線性猜測(cè)策略。則 和 可Fl Fl視為 的猜測(cè)策略和線性猜測(cè)策略。因此,有G, □2g(,)loix()g)HsGs??2()logFix(),)l lls??定理 [6] 設(shè) 為有向圖 的子圖,則有()(,)(,)()sHV??其中 表示有向圖 和 的頂點(diǎn)之差。()VG?推論 設(shè)有向圖 為由圖 刪除一頂點(diǎn)得到的圖,即 ,則有?G??\Gv??()g(,)(,)g(,)1ss???定理 設(shè)有向圖 為由圖 剖分一點(diǎn)得到的圖,則有?()(,)(,)s??證明:設(shè) 且邊 ,并設(shè) 為在圖 的邊 上添加一個(gè),()uvVG?,uvEG?(,)uv頂點(diǎn) 得到的圖,即 。w????(), ()\,()wEw???設(shè) 為 的最優(yōu)策略。令 ,其中 和 為??,.uvFf???,.uwvFf???f?v()(), (.)wuvfxfx?則 為 的猜測(cè)策略,并且顯然有 。?Gii(?因此, g(,)(,)s??反之,設(shè) 為 的最優(yōu)策略。令??.uwvFf??G?()??(,)(),.uvwufxfx??則 為有向圖 的一個(gè)策略,且??,.uvFf?G因此, 。g(,)(,)s??故 。 □G例 設(shè) 為頂點(diǎn)數(shù)為 的有向圈,則有向圈的猜測(cè)數(shù)為nC??n()g(,)(,)1lnssC?????證明:當(dāng) 時(shí), 可以視為 的剖分圖。由定理 有2m?1m?m, ()(,)(,)ss???1(,)g(,)llmssC?????而 為完全圖,因此2CK???()21g(,)(,).(,)nnsssC?????????()g1ll lC□下面考慮有向圖猜測(cè)數(shù)的上下界和線性猜測(cè)數(shù)的代數(shù)表示。定理 [6] 設(shè) 為有向圖,對(duì) 有D??0,1S?(2)s()())lgD????其中 表示有向圖 中點(diǎn)不相交的圈數(shù)的最大值, 表示有向圖 中把()? ()D變?yōu)闊o圈的最小刪除邊數(shù)。定理 [6] 設(shè) 為有向圖,則有D()g(,)max(rnk()minrak()DDl AAs ??????II其中 表示有向圖 的鄰接矩陣, 表示 階單位矩陣, 表示當(dāng)DA DA?時(shí)必有 。0ija?0ija?2. 無向圖的猜測(cè)數(shù)我們可以把無向圖視為雙向邊有向圖、無向圖的猜測(cè)數(shù)定義為對(duì)應(yīng)雙向邊有向圖的猜測(cè)數(shù)。下面利用圖論的一些概念計(jì)算猜測(cè)數(shù)的上下界。定義 設(shè) 為無向圖,節(jié)點(diǎn)集 且 ,則稱(,)GVE?V??()()EV?????為圖 的導(dǎo)出子圖。如果其導(dǎo)出子圖為完全圖,則稱此子圖為圖(,??的一個(gè)團(tuán),并記為 。()nK?N定義 若有一團(tuán)集 覆蓋了圖 的所有邊,即圖 中每一條至少屬??| GG于一個(gè) ,這時(shí)我們稱團(tuán)集中的團(tuán)的個(gè)數(shù)為團(tuán)覆蓋數(shù),記為 。n cp()定理 [8] 設(shè) 為無向圖,對(duì)任意 有(,)GVE?2s?()cpg(,)()Gn????其中 為圖 的獨(dú)立數(shù), 為圖 的團(tuán)覆蓋數(shù)。()?三.輪圖的猜測(cè)數(shù)(一)有向輪圖的猜測(cè)數(shù)在這一節(jié)中,我們考慮有向圈上添加一個(gè)頂點(diǎn)并與它連接所有頂點(diǎn),這類圖定義為輪圖。為了嚴(yán)格定義輪圖,先把有向圈用數(shù)學(xué)符號(hào)來表示,其表示如下,其中 ,(,)nCVE?????0,????(, 1mod )|01Eini???定義 設(shè) 為有向圖,其頂點(diǎn)集和邊集分別為(,)D, ()??0, 10, 1mod )|0(, )(, )niini ni???????????或則稱有向圖 為有向輪圖,并記為 。(,)VE?)whelG??記 ,它表示頂點(diǎn) 的入出{ | (1od ,), 1}kininEin?????n變化數(shù)。引理 設(shè) 為有向輪圖,則有()whelG??()1g(),2whelGns????證明:由定理 和例 有 () □(,)(),g(,)12wheln nssCC?????????定理 有向輪圖的猜測(cè)數(shù)為 當(dāng)且僅當(dāng) 。gl k?證明: (必要性)反證法:假設(shè) ,只需證明 。2k?(),2whelGns???此時(shí),易證 為 的子圖(見圖 2)。(4)whelG???lk圖 2 有向輪圖 (4)whelG??的鄰接矩陣為(4)2whelGk???()(4)01001whelGA???????????記 ,則 且 。01001As??????????(4)whelGA???rank()2A??I由定理 和定理 2.,8 知,()g(),g(4),g(4)
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