【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 211211 ???? 利用變量替換求極限 要點(diǎn)： 為了將未知的極限化簡(jiǎn)，或轉(zhuǎn)化為已知的極限，可根據(jù)極限式的特點(diǎn)，適當(dāng)引入新變量，以替換原有的變量，使原來(lái)的極限過(guò)程，轉(zhuǎn)化為新的極限過(guò)程 . 例 10 若 limnx xa?? ?， limnx yb?? ?，試證 1 2 1 1l im n n nx x y x y x y abn??? ? ? ? ? 解 令 nnxa??? ， nnyb??? ，則 n?? 時(shí)， ,0nn??? .于是 1 2 1 1n n nx y x y x yn?? ? ? = 1 2 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n n na b a b a bn? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? = 1 2 1 2nna b a bnn? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 1 2 1 1n n nn? ? ? ? ? ??? ? ?? . （ 1） 當(dāng) n?? 時(shí)第二、三項(xiàng)趨向零 .現(xiàn)證第四項(xiàng)極限亦為零 . 事實(shí)上，因 0n?? (當(dāng) n?? 時(shí) )，故 ??n? 有界，即 0M??，使得 n M? ? （ nN?? ），故 111 2 1 100 nnn n n Mnn ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? 從而（ 1）式以 ab 為極限 . 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限 （適用于求函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限） 8 利用初等函數(shù)的連續(xù)性求極限主要應(yīng)用下列結(jié)果： (1)若 f(x)在 0x 處連續(xù)，則0xlim?x f(x)= f( 0x )； (2)若)(x 0lim???x x? （ x） =A， y=f(u)在 u=A 處連續(xù)則)(x 0lim???x xf[? (x)]=f(A)。 (3)若)(x 0lim???x xf(x)=A0, )(x 0lim???x xg(x)=B,則)(x 0lim???x x)()]([ xgxf = BA 例 11： 22lim sin ( )x nn??? ? 解 2 2 2 2s i n ( ) s i n ( )n n n n n? ? ?? ? ? ? 222s in s in 111nn n nn???????????? ??. 由于初等函數(shù)在有定義的地方皆連續(xù)， 原極限 22s in l im s in 12111xn????????? ? ???????. 利用洛必達(dá)法則求極限 洛比達(dá)法則是求“ 00 ”型和“ ?? ”未定式極限的有效方法，但是非 未 定極限卻不能求。（ 0? ， ? ? ， 0 ， ?1 ， 0? 型未定式可以轉(zhuǎn)化為“ 00 ”型和“ ?? ”未定式） 定理 4：若 （ i）0xlim?x f(x)=0，0xlim?xg（ x） =0 （ ii） f與 g在 0x 的某空心領(lǐng)域 )(xU 00 內(nèi)可導(dǎo)，且 g（ x）≠ 0 （ iii ）0xlim?x )()(xgxf =A （ A 可為實(shí)數(shù)，也可為177。 ? 或 ? ）， 則0xlim?x )()(xgxf =0xlim?x )()(39。39。 xgxf =A 此定理是對(duì)“ 00 ”型而言，對(duì)于函數(shù)極限的其他類型，均有類似的法則。 9 例 12[2] 求極限 11 cos0sinlim xxxx ???????? 解 11 c o s00si n 1 si nl i m l n l i m l n1 c osxxxxxx x x???? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ? 2002sinlnc o s sinl im l imsin2xxxx x xxxxx??????? ???????????? ? ?? ?0 3c o s s inlimxx x xx????? 20 sin 1lim 33x xxx? ?? ? ?. 故原式 = 13e? . 注意 (1)每次在使用 39。L Hospital 法則之前，務(wù)必考察它是否屬于七種不定型，否則不能用 。 (2)一旦用 39。L Hospital法則 算不出結(jié)果，不等于極限不存在 .例如sinlim 1cosxxx???? ?? ，就是如此 .這是因?yàn)?39。L Hospital 法則只是充分條件，不是必要條件 . (3) ?? 型的 39。L Hospital 法則使用時(shí)，只需檢驗(yàn)分母趨向無(wú)窮大即可，分子不趨向無(wú)窮大也沒(méi)關(guān)系 . 利用 Toylor 公式求極限 例 13 求極限22 220112lim(c o s ) sinxxx xx e x?? ? ?? 解 原式 =442 4 4 2 41 ()183 11 12( ) ( ( ) )2 24xxx x x x x????????? ? ? ????? 10 利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 定義 3 設(shè)函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義 , 若極限 00 )()(lim0 xxxfxfxx ??? 存在 ,則稱函數(shù) )(xf 在 點(diǎn) 0x 處可導(dǎo) , 并稱該極限為函數(shù) )(xf 在點(diǎn) 0x 處的導(dǎo)數(shù) , 記作 )( 0xf? . 例 14 設(shè) )( 0xf? 存在 , 求 h hxfhxfh)()(lim 000????. 解 h hxfhxfh)()(lim 000???? 0 0 0 00 ( ) ( ) ( ) ( )l imh f x h f x f x f x hh? ? ? ? ? ?? 0 0 0 000( ) ( ) ( ) ( )l im l imhhf x h f x f x h f xhh??? ? ? ??? ? 00( ) ( )f x f x???? 02 ( )fx?? . 例 15 ,0)()( ?? afaxxf 可導(dǎo)，在設(shè) 求nn afnaf???????????? ???? )()1(lim . 解 這是 ?1 型極限 ,先轉(zhuǎn)化成 nafnafneaf naf 1)(ln)1(ln)()1(??????????????? ?, 其指數(shù)是 00 型極限 , 由數(shù)列極限于函數(shù)極限的關(guān)系及導(dǎo)數(shù)的定義知 ? ? )()(ln1 )(ln)1(lnlim 時(shí)當(dāng) axxfnafnafn ????????, 因此由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)得 原式 ? ?1l n ( ) l n ( )l i m ()1l n ( ) () (nf a f anfafx fane e e x a? ? ?????? ? ? ?當(dāng) 時(shí) ）. 注意 對(duì)于一般抽象函數(shù)求極限時(shí) , 如果已知它的導(dǎo)數(shù)是存在的 , 則經(jīng)常利用導(dǎo)數(shù)的定義求極限 . 11 利用微分中值定理求極限 用拉格朗日中值定理求極限（或柯西中值定理） 定理 5[1] (拉格朗日中值定理 )若函數(shù) )(xf 滿足如下條件： (1) )(xf 在閉區(qū)間 ? ?ba, 上連續(xù)； (2) )(xf 在開區(qū)間 ),( ba 上可導(dǎo) , 則在 ),( ba 上至少存在一點(diǎn) ? ,使得 ab afbff ???? )()()(? . 例 16 求 bx xb bxbx ???lim,其中 0?b . 解 由題意 , 可對(duì) xb 和 bx 分別應(yīng)用拉格朗日中值定理 , 則 原式 = ???????? ?????? bx bxbx bbbbbxbxlim = )ln(lim 121 ?? ? bbx bbb ?? = )1(lnln 1 ??? ? bbbbbb bbb （其中 ),(, 21 bx??? 例 17 計(jì)算 )13a r c t a n3( a r c t a nlim 2 ???? xxxx. 解 設(shè) xxf 3arctan)( ? , 由于 )(xf 在 ? ?1, ?xx 上連續(xù) , 在 )1,( ?xx 內(nèi)可導(dǎo) . 于是 , 由微分中值定理知 33( , 1 ) , ( ) a r c ta n a r c ta n1x x f xx?? ?? ? ? ? ??使223 3????, 當(dāng) ,時(shí)??x ??? , 所以 33 3lim 222 ????????? ?? ?? ???原式. 用泰勒展式求極限（或麥克勞林展式 ) 例 18 計(jì)算 4202coslim x exxx??? . 解 因?yàn)?)(821 44222 xoxxe x ????? , )(2421co s 542 xoxxx