多元函數(shù)極值與最值求法分析畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-15 12:53 本頁面
【文章內容簡介】 某鄰域內滿足隱函數(shù)存在定理的所有條件,它確定的隱函數(shù)為,又設約束方程組為 (2)其中, 函數(shù)在上述鄰域內具有連續(xù)偏導數(shù), 且彼此獨立.現(xiàn)在要求方程(1)給出的目標函數(shù)在約束方程組(2), 設拉格朗日函數(shù)則目標函數(shù)具有條件極值的必要條件是: (3)有解.這就是說,若目標函數(shù)在點取得條件極值, 則 滿足方程組(3). 問題的分析若方程組(3)有解,將代入(3)的前個方程的偏導函數(shù)中, 并用、表示點處的各偏導數(shù)值, 并以為未知數(shù)構造線性方程組: ( 4)顯然方程組(4)有非零解,故方程組(4)的系數(shù)矩陣的秩, 其中由此可知方程組(3)的前個方程的所有解對應的函數(shù)矩陣也滿足. 因此矩陣A的后列元素對應的函數(shù)矩陣是函數(shù)對于一切自變量的偏導數(shù)所組成的雅可比矩陣的轉置矩陣,由函數(shù)的彼此獨立性知,故所以, 目標函數(shù)具有條件極值的必要條件是.將函數(shù)矩陣A 看作是在所討論的某鄰域內某點處的各偏導數(shù)所組成的數(shù)值矩陣, 進行如下初等變換: 將A的第1列乘以加到第2列。 將A的第1列乘以加到第3列,直至將A的第1列乘以加到第+1列,可得與A等價的矩陣 , 其中由隱函數(shù)存在定理知, 對方程所確定的隱函數(shù), 有:故再將的第1列乘以得矩陣故, 且, 問題的解決因為函數(shù)矩陣的秩為, 故中必有一個m階子式不恒為零. 不失一般性，可設的右上角的階子式,其中而且中所有包含的個+1階的加邊行列式都等于零, 其中, . (5)由此可知, 若由方程( 1)所確定的目標函數(shù)在點取得滿足約束方程組(2)的條件極值, 則點必滿足方程組(5) .綜合以上, 可得求方程(1)所確定的目標函數(shù)滿足約束方程組(2)的條件極值的如下方法:① 選定不恒為零的階子式D,寫出方程組(5),即, 。② 解方程組(5)與方程組(2)及方程(1)的聯(lián)立方程組。③ 對解出的可能的條件極值點加以判斷. 求橢球面的內接最大長方體體積.解 設橢球面的內接長方體在第一卦限內的頂點為,則其體積為.現(xiàn)求方程所給出的目標函數(shù)在約束方程組下的條件極值.由 與，可得 可得由實際意義知,橢球面的內接最大長方體體積是存在的,而且求得唯一的可能條件極值點, 故點為所求條件極值點,所求內接最大長方體體積為.從以上討論和計算可知, 對于目前函數(shù)是顯函數(shù)的情形, 不必化為隱函數(shù),可直接計算. 從斜邊長為的一切直角三角形中,求有最大周長的直角三角形.解 設直角三角形的兩直角邊邊長分別為, 則周長且.現(xiàn)求目標函數(shù)在約束方程下的條件極值.由得,得,解聯(lián)立方程組得由實際意義知,斜邊為定長的直角三角形的最大周長是存在的,而且求得唯一的可能極值點, 故點為所求的條件極值點,因此所求直角三角形為等腰直角三角形, 兩直角邊均為. 利用參數(shù)方程求解條件極值在求由參數(shù)方程所確定函數(shù)的極值點,會出現(xiàn)以下二例的情形. 設函數(shù)由確定,求函數(shù)的極值點.解 ,令得到,對應唯一駐點.當(左側) (右側),所以是函數(shù)的極大值點.注意,t=1時不存在(函數(shù)有定義),t1左側）右側) ,，所以是的唯一極小值點,也是其最小值點. 對應的是函數(shù)定義區(qū)間的左端點,它不是函數(shù)的極值點(極值點應為定義區(qū)間的內點). 設由確定了函數(shù),求并求函數(shù)的極值點.解 對應, (1)由(1)可見時不存在,但函數(shù)在()處的導數(shù)仍存在. 事實上,由導數(shù)定義可得 (2)于是 (3)由(2)可見是的連續(xù)不可導點,不是的極值點,對應的是函數(shù)定義區(qū)間的內點.由(3)可見,()是的唯一極小值點.由以上三例可見,由于參數(shù)方程所確定的函數(shù)與自變的關系是通過參數(shù)t來溝通的,在求解此類問題時應注意:1. 即使,中有一個不存在,對(或對)的導數(shù)仍可以存在,只是不能用公式來求,此時可用導數(shù)定義求.2. 即使在(或)不存在的(對應)的左右兩側 (或)變號, 也不能確定它是函數(shù)的極值點(或拐點),需要進一步考察,切勿妄下結論.3．若有同時成立,而中至少有一個不為0,則點稱為曲線的奇異點(見菲赫金哥爾茨《微積分教程》一卷二分冊). 利用方向導數(shù)判別多元函數(shù)的極值 引理設函數(shù),在平面區(qū)域D上可微,L是D內的光滑曲線 ,當點在L上移動時,函數(shù)沿L的前進方向的方向導數(shù)滿足：(1),則函數(shù)在L上單調增加.(2),則函數(shù)在L上單調減少.(3),則函數(shù)在L上為常數(shù).證明 設曲線L的方程為且沒有垂直于X軸的切線在L上任意兩點,(移動時先經過點),對于定義在L上的一元函數(shù)應用微分中值定理,(在與之間)， (1)及 （a為L的切線與X軸的夾角）于是 （2）當時，；當時，，故與同號，如果當時，，函數(shù)在L上眼前進方向是單調增加的.同理,可證(2)、(3)成立.如果曲線L有鉛直切線,則可設其方程為,證法類似. 極值存在的二個充分條件定理1 設函數(shù),在點的某鄰域內可微,且,如果函數(shù)在該鄰域任一點處，沿直線方向的方向導數(shù)滿足:(1) ,則為的極大值；（2），則為的極小值.證明 設為領域內任意一點,L為領域內過點和的直線段，由假設知,函數(shù)在點處沿方向的導數(shù)，且在L上點與之間的何點處, 在L上單調減少,即.由的任意性, （2）同理可證.定理2 設函數(shù)在平面區(qū)域D上可微,曲線L完全屬于D,函數(shù)沿法線向外方向的方向導 數(shù)滿足.(1) 在該弧段的鄰近均為負,則函數(shù)在該弧段上取得弱極大值.(2) 在該弧段的鄰近均為正,則函數(shù)在該弧段上取得弱極小值.證明 (1) 設為曲線L上某弧
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