【文章內容簡介】 【點評】本題考查用導數判斷函數的單調性，利用單調性求函數的最值，利用單調性研究函數的最值，是導數的重要運用，注意上類題的解題規(guī)律與解題步驟．　14．已知f（x）=2x3﹣6x2+m（m為常數）在[﹣2，2]上有最大值3，那么此函數在[﹣2，2]上的最小值是（　?。〢．﹣37 B．﹣29 C．﹣5 D．以上都不對【分析】先求導數，根據單調性研究函數的極值點，在開區(qū)間（﹣2，2）上只有一極大值則就是最大值，從而求出m，通過比較兩個端點﹣2和2的函數值的大小從而確定出最小值，得到結論．【解答】解：∵f′（x）=6x2﹣12x=6x（x﹣2），∵f（x）在（﹣2，0）上為增函數，在（0，2）上為減函數，∴當x=0時，f（x）=m最大，∴m=3，從而f（﹣2）=﹣37，f（2）=﹣5．∴最小值為﹣37．故選：A．【點評】本題考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，求函數在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎題．　二．填空題（共10小題）15．函數f（x）=x3﹣3x2+1的極小值點為　2　．【分析】首先求導可得f′（x）=3x2﹣6x，解3x2﹣6x=0可得其根，再判斷導函數的符號分析函數的單調性，即可得到極小值點．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x令f′（x）=3x2﹣6x=0得x1=0，x2=2且x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＞0；x∈（0，2）時，f′（x）＜0；x∈（2，+∞）時，f′（x）＞0故f（x）在x=2出取得極小值．故答案為2．【點評】本題考查函數的極值問題，屬基礎知識的考查．熟練掌握導數法求極值的方法步驟是解答的關鍵．　16．已知f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當x=1時，有極值10，則a+b=　7?。痉治觥壳髮Ш瘮?，利用函數f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當x=1時，有極值10，建立方程組，求得a，b的值，再驗證，即可得到結論．【解答】解：∵函數f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2∴f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b，又∵函數f（x）=x3﹣ax2﹣bx+a2，當x=1時，有極值10，∴，∴或時，f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b=（x﹣1）（3x+11）=0有不等的實根，滿足題意；時，f39。（x）=3x2﹣2ax﹣b=3（x﹣1）2=0有兩個相等的實根，不滿足題意；∴a+b=7故答案為：7【點評】本題考查導數知識的運用，考查函數的極值，考查學生的計算能力，屬于基礎題．　17．已知函數f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則c=　6　．【分析】由已知函數f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，則必有f′（2）=0，且在x=2的兩側異號即可得出．【解答】解：∵f′（x）=（x﹣c）2+2x（x﹣c）=3x2﹣4cx+c2，且函數f（x）=x（x﹣c）2在x=2處有極大值，∴f′（2）=0，即c2﹣8c+12=0，解得c=6或2．經檢驗c=2時，函數f（x）在x=2處取得極小值，不符合題意，應舍去．故c=6．故答案為6．【點評】熟練掌握利用導數研究函數的極值的方法是解題的關鍵．　18．已知函數f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，則實數a的取值范圍是?。ī仭?，﹣1）∪（2，+∞）　．【分析】先對函數進行求導，根據函數f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值，可以得到△＞0，進而可解出a的范圍．【解答】解：∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1∴f39。（x）=3x2+6ax+3（a+2）∵函數f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1既有極大值又有極小值∴△=（6a）2﹣433（a+2）＞0∴a＞2或a＜﹣1故答案為：（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞）【點評】本題主要考查函數在某點取得極值的條件．屬基礎題．　19．已知函數f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值又存在極小值，則實數m的取值范圍是　m＜﹣3或m＞6?。痉治觥壳蟪龊瘮礷（x）的導函數，根據已知條件，導函數必有兩個不相等的實數根，只須令導函數的判別式大于0，求出m的范圍即可．【解答】解：∵函數f（x）=x3+mx2+（m+6）x+1既存在極大值，又存在極小值f′（x）=3x2+2mx+m+6=0，它有兩個不相等的實根，∴△=4m2﹣12（m+6）＞0解得m＜﹣3或m＞6故答案為：m＜﹣3或m＞6．【點評】本題主要考查了函數在某點取得極值的條件．導數的引入，為研究高次函數的極值與最值帶來了方便．　20．已知函數f（x）=4x+（x＞0，a＞0）在x=3時取得最小值，則a=　36?。痉治觥坑深}設函數在x=3時取得最小值，可得 f′（3）=0，解此方程即可得出a的值．【解答】解：由題設函數在x=3時取得最小值，∵x∈（0，+∞），∴得x=3必定是函數的極值點，∴f′（3）=0，f′（x）=4﹣，即4﹣=0，解得a=36．故答案為：36．【點評】本題考查利用導數求函數的最值及利用導數求函數的極值，解題的關鍵是理解“函數在x=3時取得最小值”，將其轉化為x=3處的導數為0等量關系．　21．f（x）=x3﹣3x2+2在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值是　2?。痉治觥壳蟪龊瘮档膶Ш瘮?，令導函數為0，求出根，判斷根是否在定義域內，判斷根左右兩邊的導函數符號，求出最值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣6x=3x（x﹣2）令f′（x）=0得x=0或x=2（舍）當﹣1＜x＜0時，f′（x）＞0；當0＜x＜1時，f′（x）＜0所以當x=0時，函數取得極大值即最大值所以f（x）的最大值為2故答案為2【點評】求函數的最值，一般先求出函數的極值，再求出區(qū)間的端點值，選出最值．　22．已知函數f（x）=x3﹣12x+8在區(qū)間[﹣3，3]上的最大值與最小值分別為M，m，則M﹣m=　32　．【分析】先對函數f（x）進行求導，令導函數等于0求出x，然后根據導函數的正負判斷函數f（x）的單調性，列出在區(qū)間[﹣3，3]上f（x）的單調性、導函數f39。（x）的正負的表格，從而可確定最值得到答案．【解答】解：令f′（x）=3x2﹣12=0，得x=﹣2或x=2，列表得：x﹣3（﹣3，﹣2）﹣2（﹣2，2）2（2，3）3f′（x） +0﹣0+f（x）17 極值24極值﹣8 ﹣1可知M=24，m=﹣8，∴M﹣m=32．故答案為：32【點評】本題主要考查函數的求導運算、函數的單調性與其導函數的正負之間的關系和函數在閉區(qū)間上的最值．導數是由高等數學下放到高中的內容，每年必考，要引起重視．　23．設f（x）=x3﹣﹣2x+5，當x∈[﹣1，2]時，f（x）＜m恒成立，則實數m的取值范圍為?。?，+∞）?。痉治觥肯惹髮?，然后根據函數單調性研究函數的極值點，通過比較極值與端點的大小從而確定出最大值，進而求出變量m的范圍．【解答】解：f′（x）=3x2﹣x﹣2=0解得：x=1或﹣當x∈時，f39。（x）＞0，當x∈時，f39。（x）＜0，當x∈（1，2）時，f39。（x）＞0，∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．故答案為：（7，+∞）【點評】本題考查了利用導數求閉區(qū)間上函數的最值，求函數在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數在（a，b）內所有極值與端點函數f（a），