導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題-文庫(kù)吧
2024-08-04 05:49 本頁(yè)面
【正文】 注意函數(shù)的定義域，極大值在本題中也是最大值；【解答】解：∵函數(shù)，（x＞0）∴y′=，令y′=0，得x=e，當(dāng)x＞e時(shí)，y′＜0，f（x）為減函數(shù)，當(dāng)0＜x＜e時(shí)，y′＞0，f（x）為增函數(shù)，∴f（x）在x=e處取極大值，也是最大值，∴y最大值為f（e）==e﹣1，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查函數(shù)在某點(diǎn)取極值的條件，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，是一道基礎(chǔ)題； 5．已知a為函數(shù)f（x）=x3﹣12x的極小值點(diǎn)，則a=（ ?。〢．﹣4 B．﹣2 C．4 D．2【分析】可求導(dǎo)數(shù)得到f′（x）=3x2﹣12，可通過(guò)判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)從而得出f（x）的極小值點(diǎn)，從而得出a的值．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2時(shí)，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，x＞2時(shí)，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的極小值點(diǎn)；又a為f（x）的極小值點(diǎn)；∴a=2．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】考查函數(shù)極小值點(diǎn)的定義，以及根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)極值點(diǎn)的方法及過(guò)程，要熟悉二次函數(shù)的圖象． 6．已知函數(shù)y=x3﹣3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，則c=（ ?。〢．﹣2或2 B．﹣9或3 C．﹣1或1 D．﹣3或1【分析】求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，確定函數(shù)的極值點(diǎn)，利用函數(shù)y=x3﹣3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，可得極大值等于0或極小值等于0，由此可求c的值．【解答】解：求導(dǎo)函數(shù)可得y′=3（x+1）（x﹣1），令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；∴函數(shù)在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調(diào)增，（﹣1，1）上單調(diào)減，∴函數(shù)在x=﹣1處取得極大值，在x=1處取得極小值．∵函數(shù)y=x3﹣3x+c的圖象與x軸恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，∴極大值等于0或極小值等于0．∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，∴c=﹣2或2．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與極值，解題的關(guān)鍵是利用極大值等于0或極小值等于0． 7．設(shè)函數(shù)f（x）=xex，則（ ）A．x=1為f（x）的極大值點(diǎn) B．x=1為f（x）的極小值點(diǎn)C．x=﹣1為f（x）的極大值點(diǎn) D．x=﹣1為f（x）的極小值點(diǎn)【分析】由題意，可先求出f′（x）=（x+1）ex，利用導(dǎo)數(shù)研究出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出x=﹣1為f（x）的極小值點(diǎn)【解答】解：由于f（x）=xex，可得f′（x）=（x+1）ex，令f′（x）=（x+1）ex=0可得x=﹣1令f′（x）=（x+1）ex＞0可得x＞﹣1，即函數(shù)在（﹣1，+∞）上是增函數(shù)令f′（x）=（x+1）ex＜0可得x＜﹣1，即函數(shù)在（﹣∞，﹣1）上是減函數(shù)所以x=﹣1為f（x）的極小值點(diǎn)故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，解題的關(guān)鍵是正確求出導(dǎo)數(shù)及掌握求極值的步驟，本題是基礎(chǔ)題， 8．函數(shù)y=x3﹣2ax+a在（0，1）內(nèi)有極小值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）A．（0，3） B．（0，） C．（0，+∞） D．（﹣∞，3）【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，函數(shù)在（0，1）內(nèi)有極小值，得到導(dǎo)函數(shù)等于0時(shí)，求出x的值，這個(gè)值就是函數(shù)的極小值點(diǎn)，使得這個(gè)點(diǎn)在（0，1）上，求出a的值．【解答】解：根據(jù)題意，y39。=3x2﹣2a=0有極小值則方程有解a＞0x=177。所以x=是極小值點(diǎn)所以0＜＜10＜＜10＜a＜故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)在某一點(diǎn)取得極值點(diǎn)條件，本題解題的關(guān)鍵是在一個(gè)區(qū)間上有極值相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這一個(gè)區(qū)間上有解． 9．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則f（2）等于（ ?。〢．11或18 B．11 C．18 D．17或18【分析】根據(jù)函數(shù)在x=1處有極值時(shí)說(shuō)明函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0，又因?yàn)閒′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因?yàn)閒（1）=10，所以可求出a與b的值確定解析式，最終將x=2代入求出答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或 ①當(dāng) 時(shí)，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1處不存在極值；②當(dāng) 時(shí)，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）∴x∈（ ，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合題意．∴，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)為0時(shí)取到函數(shù)的極值的問(wèn)題，這里多注意聯(lián)立方程組求未知數(shù)的思想，本題要注意f′（x0）=0是x=x0是極值點(diǎn)的必要不充分條件，因此對(duì)于解得的結(jié)果要檢驗(yàn)． 10．設(shè)三次函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），函數(shù)y=x?f′（x）的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（ ?。〢．f（x）的極大值為，極小值為B．f（x）的極大值為，極小值為C．f（x）的極大值為f（﹣3），極小值為f（3）D．f（x）的極大值為f（3），極小值為f（﹣3）【分析】觀察圖象知，x＜﹣3時(shí)，f′（x）＜0．﹣3＜x＜0時(shí)，f′（x）＞0．由此知極小值為f（﹣3）．0＜x＜3時(shí)，yf′（x）＞0．x＞3時(shí)，f′（x）＜0．由此知極大值為f（3）．【解答】解：觀察圖象知，x＜﹣3時(shí)，y=x?f′（x）＞0，∴f′（x）＜0．﹣3＜x＜0時(shí)，y=x?f′（x）＜0，∴f′（x）＞0．由此知極小值為f（﹣3）．0＜x＜3時(shí)，y=x?f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3時(shí)，y=x?f′（x）＜0，∴f′（x）＜0．由此知極大值為f（3）．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查極值的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要仔細(xì)圖象，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運(yùn)用． 11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是（ ）A．﹣a＜a＜2 B．a(chǎn)＞2或a＜﹣1 C．a(chǎn)≥2或a≤﹣1 D．a(chǎn)＞1或a＜﹣2【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值是導(dǎo)函數(shù)的根，且根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)不同得到△＞0；解出a的范圍．【解答】解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）∵f（x）有極大值和極小值∴△=16a2﹣36（a+2）＞0解得a＞2或a＜﹣1故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的極值點(diǎn)是導(dǎo)函數(shù)的根，且根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號(hào)需不同． 12．函數(shù)y=xe﹣x，x∈[0，4]的最小值為（ ?。〢．0 B． C． D．【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出x的取值范圍，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．【解答】解：，當(dāng)x∈[0，1）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，4]時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∵f（0）=0，∴當(dāng)x=0時(shí)，f（x）有最小值，且f（0）=0．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值，屬于基礎(chǔ)題． 13．函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值分別是（ ?。〢．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【分析】對(duì)函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律確定函數(shù)在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值位置，求值即可【解答】解：由題意y39。=6x2﹣6x﹣12令y39。＞0，解得x＞2或x＜﹣1故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在（0，2）減，在（2，3）上增又y（0）=5，y（2）=﹣15，y（3）=﹣4故函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值分別是5，﹣15故選：A．
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