導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性極值最基礎(chǔ)值習(xí)題-wenkub
2022-09-02 05:49:23 本頁面
【正文】 時，有極值10，∴，∴或時，f39。=3x2﹣2a=0有極小值則方程有解a＞0x=177。所以x=是極小值點所以0＜＜10＜＜10＜a＜故選：B．【點評】本題考查函數(shù)在某一點取得極值點條件，本題解題的關(guān)鍵是在一個區(qū)間上有極值相當(dāng)于函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在這一個區(qū)間上有解． 9．已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1處有極值10，則f（2）等于（ ?。〢．11或18 B．11 C．18 D．17或18【分析】根據(jù)函數(shù)在x=1處有極值時說明函數(shù)在x=1處的導(dǎo)數(shù)為0，又因為f′（x）=3x2+2ax+b，所以得到：f′（1）=3+2a+b=0，又因為f（1）=10，所以可求出a與b的值確定解析式，最終將x=2代入求出答案．【解答】解：f′（x）=3x2+2ax+b，∴或 ①當(dāng) 時，f′（x）=3（x﹣1）2≥0，∴在x=1處不存在極值；②當(dāng) 時，f′（x）=3x2+8x﹣11=（3x+11）（x﹣1）∴x∈（ ，1），f′（x）＜0，x∈（1，+∞），f′（x）＞0，符合題意．∴，∴f（2）=8+16﹣22+16=18．故選：C．【點評】本題主要考查導(dǎo)數(shù)為0時取到函數(shù)的極值的問題，這里多注意聯(lián)立方程組求未知數(shù)的思想，本題要注意f′（x0）=0是x=x0是極值點的必要不充分條件，因此對于解得的結(jié)果要檢驗． 10．設(shè)三次函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），函數(shù)y=x?f′（x）的圖象的一部分如圖所示，則正確的是（ ?。〢．f（x）的極大值為，極小值為B．f（x）的極大值為，極小值為C．f（x）的極大值為f（﹣3），極小值為f（3）D．f（x）的極大值為f（3），極小值為f（﹣3）【分析】觀察圖象知，x＜﹣3時，f′（x）＜0．﹣3＜x＜0時，f′（x）＞0．由此知極小值為f（﹣3）．0＜x＜3時，yf′（x）＞0．x＞3時，f′（x）＜0．由此知極大值為f（3）．【解答】解：觀察圖象知，x＜﹣3時，y=x?f′（x）＞0，∴f′（x）＜0．﹣3＜x＜0時，y=x?f′（x）＜0，∴f′（x）＞0．由此知極小值為f（﹣3）．0＜x＜3時，y=x?f′（x）＞0，∴f′（x）＞0．x＞3時，y=x?f′（x）＜0，∴f′（x）＜0．由此知極大值為f（3）．故選：D．【點評】本題考查極值的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要仔細(xì)圖象，注意數(shù)形結(jié)合思想的合理運用． 11．若f（x）=x3+2ax2+3（a+2）x+1有極大值和極小值，則a的取值范圍是（ ?。〢．﹣a＜a＜2 B．a(chǎn)＞2或a＜﹣1 C．a(chǎn)≥2或a≤﹣1 D．a(chǎn)＞1或a＜﹣2【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)函數(shù)的極值是導(dǎo)函數(shù)的根，且根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號不同得到△＞0；解出a的范圍．【解答】解：f′（x）=3x2+4ax+3（a+2）∵f（x）有極大值和極小值∴△=16a2﹣36（a+2）＞0解得a＞2或a＜﹣1故選：B．【點評】本題考查函數(shù)的極值點是導(dǎo)函數(shù)的根，且根左右兩邊的導(dǎo)函數(shù)符號需不同． 12．函數(shù)y=xe﹣x，x∈[0，4]的最小值為（ ?。〢．0 B． C． D．【分析】先求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），由f′（x）＞0和f′（x）＜0，求出x的取值范圍，得出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．【解答】解：，當(dāng)x∈[0，1）時，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，4]時，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，∵f（0）=0，∴當(dāng)x=0時，f（x）有最小值，且f（0）=0．故選：A．【點評】本題考查的是利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求出最值，屬于基礎(chǔ)題． 13．函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值分別是（ ?。〢．5，﹣15 B．5，﹣4 C．﹣4，﹣15 D．5，﹣16【分析】對函數(shù)y=2x3﹣3x2﹣12x+5求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在區(qū)間[0，3]上的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的變化規(guī)律確定函數(shù)在區(qū)間[0，3]上最大值與最小值位置，求值即可【解答】解：由題意y39。（x）=3x2﹣2ax﹣b=（x﹣1）（3x+11）=0有不等的實根，滿足題意；時，f39。（x）＞0，當(dāng)x∈時，f39。（x）=﹣x2+2，由g39。（x）=ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b因為函數(shù)g（x）是奇函數(shù)，所以g（﹣x）=﹣g（x），即對任意實數(shù)x，有a（﹣x）3+（3a+1）（﹣x）2+（b+2）（﹣x）+b=﹣[ax3+（3a+1）x2+（b+2）x+b]從而3a+1=0，b=0，解得，因此f（x）的解析表達(dá)式為．（2）由（Ⅰ）知，所以g39。（x）﹣0+g（x）↘↗∴函數(shù)y=g（x）的最小值為，根據(jù)題意，．【點評】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查恒成立問題，著重考查分類討論思想與構(gòu)造函數(shù)思想的應(yīng)用，體現(xiàn)綜合分析問題與解決問題能力，屬于中檔題． 28．已知函數(shù)f（x）=xlnx．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）若對所有x≥1都有f（x）≥ax﹣1，求實數(shù)a的取值范圍．【分析】（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)而可求出最小值．（2）將f（x）≥ax﹣1在[1，+∞）上恒成立轉(zhuǎn)化為不等式對于x∈[1，+∞）恒成立，然后令，對函數(shù)g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可判斷其單調(diào)性進(jìn)而求出最小值，使得a小于等于這個最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定義域為（0，+∞），f（x）的導(dǎo)數(shù)f39。（x）=x（3x﹣4），令f39。（1）ex﹣1﹣f（0）+x令x=1得：f（0）=1∴f（x）=f39。（x）=ex﹣1+x∴g39。（x）＜f39。（x）＞0?0＜x＜當(dāng)x=時，F(xiàn)（x）max=即當(dāng)a=時，（a+1）b的最大值為【點評】本題考查導(dǎo)數(shù)在最值問題中的應(yīng)用及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，解題的關(guān)鍵是第一題中要賦值求出f′（1），易因為沒有將f′（1）看作常數(shù)而出錯，第二題中將不等式恒成立研究參數(shù)關(guān)系的問題轉(zhuǎn)化為最小值問題，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，考查判斷推理能力，是高考中的熱點題型，計算量大，易馬虎出錯． 第31頁（共31頁）。（x）＜0?x＜ln（a+1）得：當(dāng)x=ln（a+1）時，h（x）min=（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）﹣b≥0，即（a+1）﹣（a+1）ln（a+1）≥b∴（a+1）b≤（a+1）2﹣（a+1）2ln（a+1），（a+1＞0）令F（x）=x2﹣x2lnx（x＞0），則F39。（x）＞f39。（1）e﹣1=1解得f39。（1）ex﹣1﹣f（0）x+?f39。（x）＞0，解得；令f39。（x）=0解得則當(dāng)時，g39。（x）≤0求得減區(qū)間；求最值時從極值和端點值中?。窘獯稹拷猓海?）由題意得f39。（x）＞0，∴f（x）max={f（﹣），f（2）}max=7由f（x）＜m恒成立，所以m＞fmax（x）=7．故答案為：（7，+∞）【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，求函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最大值與最小值是通過比較函數(shù)在（a，b）內(nèi)所有極值與端點函數(shù)f（a），f（b） 比較而得到的，屬于基礎(chǔ)題． 24．f（x）=ax3﹣3x+1對于x∈[﹣1，1]總有f（x）≥0成立，則a= 4?。痉治觥窟@類不等式在某個區(qū)間上恒成立的問題，可轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問題，本題要分三類：①x=0，②x＞0，③x＜0等三種情形．當(dāng)x=0時，不論a取何值，f（x）≥0都成立；當(dāng)x＞0時有a≥，可構(gòu)造函數(shù)g（x）=，然后利用導(dǎo)數(shù)求g（x）的最大值，只需要使a≥g（x）max，同
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