導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值最值問(wèn)題解析版(編輯修改稿)
2025-04-21 23:06 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)【名師點(diǎn)睛】對(duì)于函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍．從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等．但需注意探求與論證之間區(qū)別，論證是充要關(guān)系，要充分利用零點(diǎn)存在定理及函數(shù)單調(diào)性嚴(yán)格說(shuō)明函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù).4. 【2016高考天津理數(shù)】（本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)函數(shù),，其中(I)求的單調(diào)區(qū)間；(II) 若存在極值點(diǎn)，且，其中，求證：；（Ⅲ）設(shè)，函數(shù)，求證：在區(qū)間上的最大值不小于.【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析（Ⅱ）詳見(jiàn)解析（Ⅲ）詳見(jiàn)解析【解析】試題分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)是否存在情況，分類(lèi)討論：①當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)增區(qū)間為.②當(dāng)時(shí)，存在三個(gè)單調(diào)區(qū)間試題解析：（Ⅰ）解：由，可得.下面分兩種情況討論：（1）當(dāng)時(shí)，有恒成立，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）當(dāng)時(shí)，令，解得，或.當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如下表：＋0－0＋單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，.（Ⅲ）證明：設(shè)在區(qū)間上的最大值為，：（1）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此，所以.（2）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）和（Ⅱ）知，，所以在區(qū)間上的取值范圍為，因此.考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)、證明不等式【名師點(diǎn)睛】(1)確定函數(shù)f(x)的定義域(定義域優(yōu)先)；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；(3)在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)求不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集．(4)由f′(x)＞0(f′(x)＜0)的解集確定函數(shù)f (x)的單調(diào)增(減)區(qū)間．若遇不等式中帶有參數(shù)時(shí)，可分類(lèi)討論求得單調(diào)區(qū)間．2．由函數(shù)f(x)在(a，b)上的單調(diào)性，求參數(shù)范圍問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立問(wèn)題，要注意“＝”是否可以取到．5. 【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為．（Ⅰ）求；（Ⅱ）求；（Ⅲ）證明．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）見(jiàn)解析．【解析】試題解析：（Ⅰ）．（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，因此，． ………4分當(dāng)時(shí)，將變形為．令，則是在上的最大值，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為．令，解得（舍去），．（Ⅲ）由（Ⅰ）得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，所以.當(dāng)時(shí)，所以.考點(diǎn)：三角恒等變換；導(dǎo)數(shù)的計(jì)算；三角函數(shù)的有界性．【歸納總結(jié)】求三角函數(shù)的最值通常分為兩步：（1）利用兩角和與差的三角公式、二倍角公式、誘導(dǎo)公式將解析式化為形如的形式；（2）結(jié)合自變量的取值范圍，結(jié)合正弦曲線(xiàn)與余弦曲線(xiàn)進(jìn)行求解．6. 【2016高考浙江理數(shù)】（本小題15分）已知，函數(shù)F（x）=min{2|x?1|，x2?2ax+4a?2}，其中min{p，q}= （I）求使得等式F（x）=x2?2ax+4a?2成立的x的取值范圍；（II）（i）求F（x）的最小值m（a）；（ii）求F（x）在區(qū)間[0,6]上的最大值M（a）.【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．【解析】試題分析：（I）分別對(duì)和兩種情況討論，進(jìn)而可得使得等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)，的最小值，再根據(jù)的定義可得的最小值；（ii）分別對(duì)和兩種情況討論的最大值，進(jìn)而可得在區(qū)間上的最大值．（ii）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，．所以，．考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性與最值；分段函數(shù)；不等式．【思路點(diǎn)睛】（I）根據(jù)的取值范圍化簡(jiǎn)，即可得使得等式成立的的取值范圍；（II）（i）先求函數(shù)和的最小值，再根據(jù)的定義可得；（ii）根據(jù)的取值范圍求出的最大值，進(jìn)而可得．7. 【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】(Ⅰ)討論函數(shù)的單調(diào)性，并證明當(dāng)時(shí)，； (Ⅱ)證明：當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的值域．【答案】（Ⅰ）詳見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】試題分析：（Ⅰ）先求定義域，用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的單調(diào)性，當(dāng)時(shí)，證明結(jié)論；（Ⅱ）用導(dǎo)數(shù)法求函數(shù)的最值，在構(gòu)造新函數(shù)，又用導(dǎo)數(shù)法求解. （II）由（I）知，單調(diào)遞增，對(duì)任意因此，
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