132-函數(shù)的極值與導數(shù)(編輯修改稿)
2025-08-21 14:00 本頁面
【文章內容簡介】 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) 1/ e 故當 x ＝ e 時函數(shù)取得極大值 ， 且極大值為 f (e ) ＝1e. 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 探究二 已知函數(shù)的極值求參數(shù)的值或范圍 [ 典例 2 ] 已知 f ( x ) ＝ x3＋ ax2＋ bx ＋ c ， f ( x ) 在點 x ＝ 0 處取得極值 ， 并且在單調區(qū)間[0,2] 和 [4,5] 上具有相反的單調性． (1) 求實數(shù) b 的值； (2) 求實數(shù) a 的取值范圍． [ 解析 ] (1) ∵ f ′ ( x ) ＝ 3 x2＋ 2 ax ＋ b ， f ( x ) 在點 x ＝ 0 處取得極值 ， ∴ f ′ (0) ＝ 0 ， ∴ b ＝ 0. (2) 令 f ′ (0) ＝ 0 ， 即 3 x2＋ 2 ax ＝ 0 ， 解得 x ＝ 0 或 x ＝－23a . 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 依題意有－23a 0. 又函數(shù)在單調區(qū)間 [ 0,2] 和 [4,5] 上具有相反的單調性 ， ∴ 2 ≤ －23a ≤ 4. 解得－ 6 ≤ a ≤ － 3. 即實數(shù) a 的取值范圍為 [ － 6 ，－ 3] ． 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 已知函數(shù)極值點或極值求參數(shù)的兩個注意點： (1) 常根據(jù)極值點處導數(shù)為 0 和極值的兩個條件列方程組 ， 利用待定系數(shù)法求解． (2) 因為導數(shù)值等于零不是此點為極值點的充要條件 ， 所以利用待定系數(shù)法求解后必須驗證根的合理性． 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 2 ． 設函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x3－ 3( a ＋ 1) x2＋ 6 ax ＋ 8 其中 a ∈ R ， (1) 若 f ( x ) 在 x ＝ 3 處取得極值 ， 求常數(shù) a 的值． (2) 若 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上為增函數(shù) ， 求 a 的取值范圍． 解析： (1) 由題意 f ′ ( x ) ＝ 6 x2－ 6( a ＋ 1) x ＋ 6 a . 因為函數(shù) f ( x ) 在 x ＝ 3 處取得極值 ， 所以 f ′ (3) ＝ 0 ， 解得 a ＝ 3. 經(jīng)檢驗知 a ＝ 3 時 ， x ＝ 3 為 f ( x ) 的極值點． (2) f ′ ( x ) ＝ 6 x2－ 6( a ＋ 1) x ＋ 6 a ＝ 6( x － a )( x － 1) ． 當 a 1 時 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) ， ( a ，＋ ∞ ) 上遞增 ， 符合條件． 當 a ＝ 1 時 ， f ( x ) ＝ 6( x － 1)2≥ 0 恒成立 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上遞增． 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 當 a 1 時 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， a ) ， (1 ，＋ ∞ ) 上遞增 ， 要保證 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上遞增 ， 則0 ≤ a 1. 綜上所述 ， a ≥ 0 時 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上遞增． 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 探究三 函數(shù)極值的綜合應用 [ 典例 3 ] 若函數(shù) f ( x ) ＝ ax3－ bx ＋ 4 ， 當 x ＝ 2 時函數(shù) f ( x ) 有極值－43. (1) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； (2) 若關于 x 的方程 f ( x ) ＝ k 有三個不等實根 ， 求實數(shù) k 的取值范圍． [ 解析 ] (1) 由題意可知 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2－ b ， ∴????? f ′ ? 2 ? ＝ 12 a － b ＝ 0 ，f ? 2 ? ＝ 8 a － 2 b ＋ 4 ＝－43，∴????? a ＝13，b ＝ 4. 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 經(jīng)檢驗 a ＝13， b ＝ 4 符合題意． 故所求函數(shù) f ( x ) 的解析式為 f ( x ) ＝13x3－ 4 x ＋ 4. (2) 由 (1) 知 f ′ ( x ) ＝ x2－ 4 ＝ ( x － 2)( x ＋ 2) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ 2 或 x ＝－ 2 ， 當 x 變化時 ， f ′ ( x ) ， f ( x ) 的變化情 況如下表： x ( － ∞ ，－ 2) － 2 ( － 2,2) 2 (2 ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － 0 ＋ f ( x ) 283 －43 返回導航 上頁 下頁 人教 A版數(shù)學 選修 2－ 2 ∴ 當 x ＝－ 2 時 ， f ( x ) 有極大值283；當 x ＝ 2 時 ， f ( x ) 有極小值－43. 要使關于 f ( x ) ＝ k 的方
黨政相關相關推薦
鄂ICP備17016276號-1