132-函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)-在線(xiàn)瀏覽
2024-09-04 14:00本頁(yè)面
【正文】 2 時(shí) ， f ′ ( x ) 0 ， x l n 2 時(shí) ， f ′ ( x ) 0 ， 所以 x ＝ l n 2 時(shí) ， f ( x ) 取極小值且極小值為 f (l n 2) ＝ 2 － 2 l n 2. 答案： 2 － 2l n 2 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 探究一 求函數(shù)的極值 [ 典例 1 ] 求下列函數(shù)的極值： (1) f ( x ) ＝ x3－ 12 x ； (2) f ( x ) ＝ sin x (1 ＋ co s x )(0 x 2π) ． 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 從表中可以看出 ， 當(dāng) x ＝－ 2 時(shí) ， 函數(shù)有極大值 ， 且 f ( － 2) ＝ ( － 2)3－ 12 ( － 2) ＝ 16. 當(dāng) x ＝ 2 時(shí) ， 函數(shù)有極小值 ， 且 f (2) ＝ 23－ 12 2 ＝－ 16 (2) f ′ ( x ) ＝ cos x (1 ＋ cos x ) ＋ sin x ( － si n x ) ＝ cos x ＋ cos2x － sin2x ＝ cos x ＋ cos2x － (1 － cos2x ) ＝ 2 cos2x ＋ cos x － 1 ＝ (2cos x － 1)(cos x ＋ 1) ． 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 cos x ＝12或 cos x ＝－ 1. 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的步驟及應(yīng)對(duì)策略： (1) 求定義域 ， 并求導(dǎo)數(shù) f ′ ( x ) ； (2) 解方程 f ′ ( x ) ＝ 0 ； (3) 列出表格． 在判斷 f ′ ( x ) 的符號(hào)時(shí) ， 可借助決定導(dǎo)函數(shù)符號(hào)的圖象直觀解決；也可判斷導(dǎo)函數(shù)中各因式的符號(hào)；還可用特值法判斷 ， 要靈活 、 快速 、 準(zhǔn)確； ( 4) 由 表格獲得結(jié)論． 實(shí)質(zhì)上表格反映的就是函數(shù)的草圖 ， 下結(jié)論時(shí)應(yīng)注意 “ 極值 ” 和 “ 極值點(diǎn) ”的區(qū)別． 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 因此 ， 當(dāng) x ＝－ 1 時(shí)函數(shù)取得極大值 ， 且極大值為 f ( － 1) ＝ 10 ；當(dāng) x ＝ 3 時(shí)函數(shù)取得極小值 ， 且極小值為 f (3) ＝－ 2 2 . (2) 函數(shù) f ( x ) ＝ln xx的定義域?yàn)?(0 ，＋ ∞ ) ， 且 f ′ ( x ) ＝1 － ln xx2 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ， 得 x ＝ e. 當(dāng) x 變化時(shí) ， f ′ ( x ) 與 f ( x ) 的變化情況如下表： x (0 ， e) e (e ，＋ ∞ ) f ′ ( x ) ＋ 0 － f ( x ) 1/ e 故當(dāng) x ＝ e 時(shí)函數(shù)取得極大值 ， 且極大值為 f (e ) ＝1e. 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 依題意有－23a 0. 又函數(shù)在單調(diào)區(qū)間 [ 0,2] 和 [4,5] 上具有相反的單調(diào)性 ， ∴ 2 ≤ －23a ≤ 4. 解得－ 6 ≤ a ≤ － 3. 即實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 [ － 6 ，－ 3] ． 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 2 ． 設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ 2 x3－ 3( a ＋ 1) x2＋ 6 ax ＋ 8 其中 a ∈ R ， (1) 若 f ( x ) 在 x ＝ 3 處取得極值 ， 求常數(shù) a 的值． (2) 若 f ( x ) 在 ( － ∞ ， 0) 上為增函數(shù) ， 求 a 的取值范圍． 解析： (1) 由題意 f ′ ( x ) ＝ 6 x2－ 6( a ＋ 1) x ＋ 6 a . 因?yàn)楹瘮?shù) f ( x ) 在 x ＝ 3 處取得極值 ， 所以 f ′ (3) ＝ 0 ， 解得 a ＝ 3. 經(jīng)檢驗(yàn)知 a ＝ 3 時(shí) ， x ＝ 3 為 f ( x ) 的極值點(diǎn)． (2) f ′ ( x ) ＝ 6 x2－ 6( a ＋ 1) x ＋ 6 a ＝ 6( x － a )( x － 1) ． 當(dāng) a 1 時(shí) ， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) ， ( a ，＋ ∞ ) 上遞增 ， 符合條件． 當(dāng) a ＝ 1 時(shí) ， f ( x ) ＝ 6( x － 1)2≥ 0 恒成立 ， f ( x ) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上遞增． 返回導(dǎo)航 上頁(yè) 下頁(yè) 人教 A版數(shù)學(xué) 選修 2－ 2 探究三 函數(shù)極值的綜合應(yīng)用 [ 典例 3 ] 若函數(shù) f ( x ) ＝ ax3－ bx ＋ 4 ， 當(dāng) x ＝ 2 時(shí)函數(shù) f ( x ) 有極值－43. (1) 求函數(shù) f ( x ) 的解析式； (2) 若關(guān)于 x 的方程 f ( x ) ＝ k 有三個(gè)不等實(shí)根 ， 求實(shí)數(shù) k 的取值范圍． [ 解析 ] (1) 由題意可知 f ′ ( x ) ＝ 3 ax2－ b ， ∴????? f ′ ? 2 ? ＝ 12 a － b ＝ 0 ，f ? 2 ? ＝ 8 a － 2 b ＋ 4 ＝－43，∴?
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