利用導數求函數的極值-在線瀏覽
2025-07-03 02:04本頁面
【正文】 再利用導數（或均值不等式等）求函數的最大值．解：解法一：，∴．由解得．設當時， ．令，得或（舍）．∴，又，∴函數的最大值為．即的最大值為．解法二：由得，設，∴，設，則 令，得或．，此時∴即當時，說明：進行一題多解訓練，是一種打開思路，激發(fā)思維，鞏固基礎，溝通聯系的重要途徑，但要明確解決問題的策略、指向和思考方法，需要抓住問題的本質，領悟真諦，巧施轉化，方可快捷地與熟悉的問題接軌，在實現轉化的過程中，關鍵是要注意變量的取值范圍必須滿足題設條件，以免解題陷于困境，功虧一簣．直接利用導數的運算法則求導例 求下列函數的導數：1．； 2．3．； 4．分析：仔細觀察和分析各函數的結構規(guī)律，緊扣求導運算法則，聯系基本函數求導公式，不具備求導法則條件的可適當進行恒等變形，步步為營，使解決問題水到渠成．解：1． 2． 3．解法一： 解法二：，∴ 4．解法一： 解法二：， 說明：理解和掌握求導法則和公式的結構規(guī)律是靈活進行求導運算的前提條件，運算過程出現失誤，原因是不能正確理解求導法則，特別是商的求導法同．求導過程中符號判斷不清，也是導致錯誤的因素．從本題可以看出，深刻理解和掌握導數運算法則，再結合給定函數本身的特點，才能準確有效地進行求導運算，才能充分調動思維的積極性，在解決新問題時舉一反三，觸類旁通，得心應手．化簡函數解析式在求解例 求下列函數的導數．1．；2．；3．；4．分析：對于比較復雜的函數，如果直接套用求導法則，會使問題求解過程繁瑣冗長，且易出錯．可先對函數解析式進行合理的恒等變換，轉化為易求導的結構形式再求導數．解：1．，∴2． ∴ 3．∴4．，∴說明：對于函數求導，一般要遵循先化簡，再求導的基本原則．求導時，不但要重視求導法則的應用，而且要特別注意求導法則對求導的制約作用．在實施化簡時，首先必須注意變換的等價性，避免不必要的運算失誤．根據點和切線確定拋物線的系數例 已知拋物線通過點，且在點處與直線相切，求實數a、b、c的值．分析：解決問題，關鍵在于理解題意，轉化、溝通條件與結論，將二者統(tǒng)一起來．題中涉及三個未知參數，題設中有三個獨立的條件，因此，通過解方程組來確定參數a、b、c的值是可行的途徑．解：∵曲線過點，∴①，∴∴②又曲線過點，∴③．聯立解①、②、③得說明：利用導數求切線斜率是行之有效的方法，它適用于任何可導函數，解題時要充分運用這一條件，才能使問題迎刃而解．解答本題常見的失誤是不注意運用點在曲線上這一關鍵的隱含條件．利用導數求和例 利用導數求和．1．2．分析：問題分別可通過錯位相減的方法及構造二項式定理的方法來解決．轉換思維角度，由求導公式，可聯想到它們是另外一個和式的導數，因此可轉化求和，利用導數運算可使問題解法更加簡潔明快．解：1．當時，當時，兩邊都是關于x的函數，求導得，即2．兩邊都是關于x的可導函數，求導得，令，得，即說明：通過對數列的通項進行聯想，合理運用了逆向思維的方法，從而激發(fā)了思維的靈活性，使數列的求和問題獲得解決，其關鍵是抓住了數列通項的形式結構．學生易犯的錯誤是受思維定式的影響不善于聯想．導數定義的利用例 若，則等于（ ） A． B． C． D．以上都不是分析：本題考查的是對導數定義的理解，根據導數定義直接求解即可解：由于 ，應選A求曲線方程的斜率和方程例 已知曲線上一點，用斜率定義求：（1）點A的切線的斜率（2）點A處的切線方程分析：求曲線在A處的斜率，即求解：（1）（2）切線方程為即說明：上述求導方法也是用定義求運動物體在時刻處的瞬時速度的步驟．判斷分段函數的在段點處的導數例 已知函數，判斷在處是否可導？分析：對分段函數在“分界點”處的導數問題，要根據定義來判斷是否可導．解：∴在處不可導．說明：函數在某一點的導數，是指一個極限值，即，當；包括；，判定分段函數在“分界處”的導數是否存在時，要驗證其左、右極限是否存在且相等，如果存在且相等，才能判定這點存在導數，否則不存在導數．利用導數定義的求解 例 設函數在點處可導，試求下列各極限的值．1．；2．3．若，則等于（ ）A．－1 B．－2 C．－1 D．分析：在導數的定義中，增量的形式是多種多樣的，但不論選擇哪種形式，也必須選擇相對應的形式．利用函數在點處可導的條件，可以將已給定的極限式班等變形轉化為導數定義的結構形式．解：1．原式＝ 2．原式＝ 3．（含），∴故選A．說明：概念是分析解決問題的重要依據，只有熟練掌握概念的本質屬性，把握其內涵與外延，才能靈活地應用概念進行解題，不能準確分析和把握給定的極限式與導數的關系，盲目套用導數的定義是使思維受阻的主要原因．解決這類問題的關鍵就是等價變形，使問題轉化．利用定義求導數例 1．求函數在處的導數；
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