高中數學導數的應用極值和最值專項訓練題(全)(編輯修改稿)
2025-08-19 13:06 本頁面
【文章內容簡介】 ＝－2，∴a≥－2.16．已知函數f(x)＝－x2＋ax＋1－lnx.(1)若f(x)在(0，)上是減函數，求a的取值范圍；(2)函數f(x)是否既有極大值又有極小值？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．解析 (1)f′(x)＝－2x＋a－，∵f(x)在(0，)上為減函數，∴x∈(0，)時－2x＋a－0恒成立，即a2x＋恒成立．設g(x)＝2x＋，則g′(x)＝2－.∵x∈(0，)時4，∴g′(x)0，∴g(x)在(0，)上單調遞減，g(x)g()＝3，∴a≤3.(2)若f(x)既有極大值又有極小值，則f′(x)＝0必須有兩個不等的正實數根x1，x2，即2x2－ax＋1＝0有兩個不等的正實數根．故a應滿足??a2，∴當a2時，f′(x)＝0有兩個不等的實數根，不妨設x1x2，由f′(x)＝－(2x2－ax＋1)＝－(x－x1)(x－x2)知，0xx1時f′(x)0，x1xx2時f′(x)0，xx2時f′(x)0，∴當a2時f(x)既有極大值f(x2)又有極小值f(x1)．1. 已知y＝f(x)是奇函數，當x∈(0,2)時，f(x)＝lnx－ax(a)，當x∈(－2,0)時，f(x)的最小值為 1，則a的值等于________．答案 1解析 ∵f(x)是奇函數，∴f(x)在(0,2)上的最大值為－1，當x∈(0,2)時，f′(x)＝－a，令f′(x)＝0得x＝，又a，∴02.令f′(x)0，則x，∴f(x)在(0，)上遞增；令f′(x)0，則x，∴f(x)在(，2)上遞減，∴f(x)max＝f()＝ln－a＝－1，∴l(xiāng)n＝0，得a＝1.2．設函數f(x)＝2x3＋3ax2＋3bx＋8c在x＝1及x＝2時取得極值．(1)求a、b的值；(2)若對任意的x∈[0,3]，都有f(x)c2成立，求c的取值范圍．解 (1)f′(x)＝6x2＋6ax＋3b，因為函數f(x)在x＝1及x＝2時取得極值，則有f′(1)＝0，f′(2)＝0，即解得a＝－3，b＝4.(2)由(1)可知，f(x)＝2x3－9x2＋12x＋8c，f′(x)＝6x2－18x＋12＝6(x－1)(x－2)．當x∈(0,1)時，f′(x)0；當x∈(1,2)時，f′(x)0；當x∈(2,3)時，f′(x)0.所以，當x＝1時，f(x)取得極大值f(1)＝5＋8c.又f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c，則當x∈[0,3]時，f(x)的最大值為f(3)＝9＋8c.因為對于任意的x∈[0,3]，有f(x)c2恒成立，所以9＋8cc2，解得c－1或c9.因此c的取值范圍為(－∞，－1)∪(9，＋∞)．3．已知函數f(x)＝x3－3ax2＋3x＋1.(1)設a＝2，求f(x)的單調區(qū)間；(2)設f(x)在區(qū)間(2,3)中至少有一個極值點，求a的取值范圍．解析 (1)當a＝2時，f(x)＝x3－6x2＋3x＋1，f′(x)＝3(x－2＋)(x－2－)．當x∈(－∞，2－)時f′(x)＞0，f(x)在(－∞，2－)上單調增加；當x∈(2－，2＋)時f′(x)＜0，f(x)在(2－，2＋)上單調減少；當x∈(2＋，＋∞)時f′(x)＞0，f(x)在(2＋，＋∞)上單調增加．綜上，f(x)的單調增區(qū)間是(－∞，2－)和(2＋，＋∞)，f(x)的單調減區(qū)間是(2－，2＋)．(2)f′(x)＝3[(x－a)2＋1－a2]．當1－a2≥0時，f′(x)≥0，f(x)為增函數，故f(x)無極值點；當1－a2＜0時，f′(x)＝0有兩個根，x1＝a－，x2＝a＋.由題意知，2＜a－＜3，①
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