【文章內(nèi)容簡介】 面幾個實際問題。例1 求函數(shù)fx=4sinxcos2x1的最值。分析：這是有關(guān)三角函數(shù)求最值的問題，很顯然我們都知道我們要把這個化為如下兩種形式：fx=Asinωx+φ+a fx=Acosωx+φ+，那么還有沒有其他的思路呢？解： fx=4sinxcos2x1 =4sinx12(sinx)21 =2(sinx)2+4sinx2 =2(sinx)2+2sinx1 =2sinx+124因為sinx的值域是1,1，所以當sinx=1，f(x)max=4。當sinx=1，f(x)min=4分析：本題我們把本屬于求三角函數(shù)的最值問題經(jīng)過恒等變形轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)最值問題，顯然變得一目了然了。例2 求出函數(shù) fx=x2x+3的極值.解：將函數(shù)配方得fx=x122+114，所以當x=12時，函數(shù)fx取得極小值，極小值為114.分析：在求二次函數(shù)最值問題一定注意函數(shù)的定義域，以及在區(qū)間中的最值問題.=ax2+bx+ca39。x2+b39。x+c39。的極值。觀察這種函數(shù)我們會發(fā)現(xiàn)是與二次函數(shù)有關(guān)的。將函數(shù)變形為：aya39。yx2+byb39。yx+cyc39。y=0這是關(guān)于x的一元二次方程，若y有極值，則x必有實數(shù)解。那么關(guān)于x的一元二次方程的判別式：?=byb39。y24aya39。ycyc39。y≥0解出y的值。從而求函數(shù)的極值。這種方法這是用最高次冪為二次的函數(shù)，因為是根據(jù)判別式?來討論函數(shù)的值域的問題，因此只能解決最值問題。例3 求函數(shù)y=x24x22x3的極值。解：我們把函數(shù)變形為如下一個關(guān)于x的一個一元二次方程：+4=0 (1)若方程（1）有實數(shù)解x,則判別式: ?=4y24y13y+4=16y782+154≥0, 因此對一切實數(shù)x，y都恒成立。即y的值域為∞，+∞。所以y沒有極值，也沒最值。如圖： 例4求函數(shù)y=x24x2+2x+3 的最值.解：=0 .若方程有實數(shù)解，則?=4y241y3y4=5y228y+16≥0,解得72695≤y≤7+.=mx+nax2+bx+c 的極值.首先，我們要注意此類函數(shù)的定義域，即ax2+bx+c≥0。我們函數(shù)變形為：ymx=nax2+bx+c，兩邊同時平方整理后得到關(guān)于x的一元二次方程：an2m2x2+bn2+2myx+2y2=0一般的，如果an2m2≠0，且x有實數(shù)解。則判別式：?=bn2+2my24an2m22y2≥0解出該不等式的解集就是函數(shù)的值域，就可以求出函數(shù)的極值了。例5 求函數(shù)y=x+x2+3x+2 極值。解： 函數(shù)的定義域為∞，2U1，+∞.將y=x+x2+3x+2 移項后再平方得：3+2yx=y22這是關(guān)于x的一次方程，因此不能用判別式求解。很顯然3+2y≠0，,即y≠32.所以x=y223+2y，又x∈∞，2∪1，+∞。所以y223+2y≤2，y223+2y≥1.解得y32,y∞，32∪32,+∞.分析：此題利用函數(shù)的定義域解出了函數(shù)的值域，從而知道了函數(shù)的最值。例6求函數(shù)y=x+2x25x+2 極值.解：解不等式x25x+2≥y5172,y5+172現(xiàn)在把函數(shù)變形為yx=2x25x+2.兩邊同時平方整理得：3x2+2y20x+8y2 （1）由題可知，x有實數(shù)解。則關(guān)于x的一元二次方程（1）的判別式?=2y202128y2≥0解得：y≤3,y≥5172時，函數(shù)有最大值3；當y5+172時，函數(shù)有最小值2.第三章 多元函數(shù)的極值 多元函數(shù)可以說是一元函數(shù)的推廣，它和與一元函數(shù)有很多類似的地方，也保留了很多一元函數(shù)所具備的性質(zhì)。而多元函數(shù)的極值問題是學習了多元函數(shù)微分學之后需要學習的一個重要應用。它解決了生活中的很多實際問題。我們先來看看多元函數(shù)的定義。這里我們先從二元函數(shù)開始，n元函數(shù)我們可以類似的推廣。二元函數(shù)的定義是：如果對于變量x,y的變化區(qū)域內(nèi)的每一對數(shù)值x,y，依照某種確定的規(guī)律或者法則，都對應一個確定的值z,則稱z是x,y的（二元函數(shù)），記作z=fx,y，或者z=φx,y等。 當然變量x,y叫做自變量，而自變量x,y的取值范圍叫做函數(shù)的定義域。而與x,y相對應的函數(shù)值所組成的集合，叫做函數(shù)的值域。二元函數(shù)（一般地說多元函數(shù)）在給定區(qū)域上的最大值或最小值可以在該區(qū)域的某一內(nèi)點上達到，也可以在邊界點達到。所以多元函數(shù)的極值可以定義為： 設(shè)函數(shù)z=fx,y定義在區(qū)域（G）上，又設(shè)a,b是這區(qū)域的一個內(nèi)點，若fa,b≥fa+h,b+h，fa,b≤fa+h,b+h，其中h,k是任意的。只要h，k充分小，則我們稱函數(shù)z=fx,y在點a,b達到極大值（極小值）。而a,b稱為極值點。這些都與一元函數(shù)有類似之處，那么多元函數(shù)的極值問題會不會也有相似之處呢？下面我們一起來看看如何來求函數(shù)的極值的？ 無條件極值 與一元函數(shù)一樣，我們先來看多元函數(shù)極值的必要條件。如果某一點是函數(shù)的極值點，那么它該滿足些什么？ 若函數(shù)f在點P0x0,y0存在偏導數(shù)，且在P0處取得極值，則有：fxx0,y0=0, fyx0,y0=0反之若函數(shù)f在點P0滿足上式，則稱P0為f的穩(wěn)定點。這里和一元函數(shù)一樣，極值點一定是穩(wěn)定點，而穩(wěn)定點不一定是極值點。我們知道求一元函數(shù)的極值有很多種方法。那么多元函數(shù)呢？我們就一起來探討吧！ 如果用微分法求函數(shù)的極值，我們要先先求出函數(shù)的穩(wěn)定點，那么我們求出函數(shù)的穩(wěn)定點一定是函數(shù)的穩(wěn)定點嗎？答案是不一定。判斷是不是函數(shù)的極值點，書上給出了辦法：引進一個矩陣，若f具有二階連續(xù)偏導數(shù)，我們記HfP0=fxx(P0)fxy(P0)fyx(P0)fyy(P0)=fxxfxyfyxfyyP0它稱為f在點P0的黑塞 Hesse）矩陣。下面這個定理給出了判斷穩(wěn)定點是不是函數(shù)的極值點 （二元函數(shù)極值的充分條件） 假設(shè)二元函數(shù)f在某點P0x0,y0的某鄰域UP0上具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點。則當HfP0是正定矩陣時，f在點P0取得極小值；當HfP0是負定矩陣時，f在點P0取得極大值；當HfP0是不定矩陣時，f在點P0不取極值。，若二元函數(shù)f在點P0x0,y0的某鄰域UP0上具有二階連續(xù)的偏導數(shù)，且P0是f的穩(wěn)定點。則有：（i） 當fxx(P00，fxxfyyfxy2P00時，f在點P0取得極小值；（ii） 當fxx(P00，fxxfyyfxy2P00時，f在點P0取得極大值；（iii） fxxfyyfxy2P00時，f在點P0不取極值；（iv） fxxfyyfxy2P0=0時，不能肯定f在點P0是否取得極值。這個定理該如何來運用它呢我們一起來看看下面幾個例子.例1 求函數(shù)fx,y=x2+xy+y2x2y+5的極值。 解法一： 由題意得：f