常見(jiàn)函數(shù)極限的求法(編輯修改稿)
2025-08-20 17:15 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 例說(shuō)明無(wú)窮多個(gè)無(wú)窮小量之積可以不是無(wú)窮小量.解 如下數(shù)列均是無(wú)窮小量:但將它們對(duì)應(yīng)項(xiàng)連乘起來(lái)取極限,得到一個(gè)新數(shù)列,此數(shù)列為該極限為1,不是無(wú)窮小量.方法六 利用已知極限求極限要點(diǎn) 在知道一些簡(jiǎn)單函數(shù)或特殊函數(shù)的極限的情況下,我們可以再求極限的過(guò)程中,把一些復(fù)雜的函數(shù)化成這些簡(jiǎn)單函數(shù)或特殊函數(shù)的形式,利用這些函數(shù)的極限,可以較容易的求出復(fù)雜函數(shù)的極限.例8 求極限解 由于當(dāng)時(shí),又故 方法七 利用變量替換求極限 為了將未知的極限簡(jiǎn)化,或轉(zhuǎn)化為一直的極限,可根據(jù)極限式的特點(diǎn),適當(dāng)引入新變量,以替換原有的變量,使原來(lái)的極限過(guò)程轉(zhuǎn)化為新的極限過(guò)程.例9 若試證證明 令則時(shí)，.于是當(dāng)時(shí)，第二三項(xiàng)趨近于零,，因（當(dāng)時(shí)）,故有界,即,使得故從而以為極限.第二類 函數(shù)極限求法歸納一 函數(shù)極限的定義定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù),為定數(shù)，若對(duì)任給的存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限,記作或定義 2 設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)有定義,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,則稱函數(shù)當(dāng)時(shí)以為極限. 定義3 設(shè)函數(shù)在或上有定義,存在正數(shù),使得當(dāng)時(shí)有,則稱為函數(shù)當(dāng)趨于時(shí)的右或左極限,記作.或二 求極限的方法方法一 利用函數(shù)極限的定義求極限⑴ 利用定義1求極限.例1 證明證明 任給所以⑵利用定義2求極限.例2 設(shè)證明證明 由于當(dāng)時(shí),故對(duì)任給的只要取則當(dāng)時(shí),有這就證明了 ⑶利用定義3求極限.例3 討論函數(shù)在定義區(qū)間端點(diǎn)處的單側(cè)極限.解 由于,故有.方法二 利用兩邊夾準(zhǔn)則求極限要點(diǎn) 當(dāng)極限不易直接求出時(shí),可考慮將求極限的變量做適當(dāng)?shù)姆糯蠛涂s小,使放大和縮小所得的新變量易于求極限,.在函數(shù)極限的性質(zhì)中有迫斂性:且在某有例4 求解 由此當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí)故 例5 利用迫斂性求函數(shù)極限.解 因有
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