常見函數(shù)極限的求法(編輯修改稿)
2025-08-20 17:15 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例說明無窮多個無窮小量之積可以不是無窮小量.解 如下數(shù)列均是無窮小量:但將它們對應(yīng)項連乘起來取極限,得到一個新數(shù)列,此數(shù)列為該極限為1,不是無窮小量.方法六 利用已知極限求極限要點 在知道一些簡單函數(shù)或特殊函數(shù)的極限的情況下,我們可以再求極限的過程中,把一些復(fù)雜的函數(shù)化成這些簡單函數(shù)或特殊函數(shù)的形式,利用這些函數(shù)的極限,可以較容易的求出復(fù)雜函數(shù)的極限.例8 求極限解 由于當時,又故 方法七 利用變量替換求極限 為了將未知的極限簡化,或轉(zhuǎn)化為一直的極限,可根據(jù)極限式的特點,適當引入新變量,以替換原有的變量,使原來的極限過程轉(zhuǎn)化為新的極限過程.例9 若試證證明 令則時，.于是當時，第二三項趨近于零,，因（當時）,故有界,即,使得故從而以為極限.第二類 函數(shù)極限求法歸納一 函數(shù)極限的定義定義1 設(shè)為定義在上的函數(shù),為定數(shù)，若對任給的存在正數(shù),使得當時有則稱函數(shù)當時以為極限,記作或定義 2 設(shè)函數(shù)在點的某個空心鄰域內(nèi)有定義,存在正數(shù),使得當時有,則稱函數(shù)當時以為極限. 定義3 設(shè)函數(shù)在或上有定義,存在正數(shù),使得當時有,則稱為函數(shù)當趨于時的右或左極限,記作.或二 求極限的方法方法一 利用函數(shù)極限的定義求極限⑴ 利用定義1求極限.例1 證明證明 任給所以⑵利用定義2求極限.例2 設(shè)證明證明 由于當時,故對任給的只要取則當時,有這就證明了 ⑶利用定義3求極限.例3 討論函數(shù)在定義區(qū)間端點處的單側(cè)極限.解 由于,故有.方法二 利用兩邊夾準則求極限要點 當極限不易直接求出時,可考慮將求極限的變量做適當?shù)姆糯蠛涂s小,使放大和縮小所得的新變量易于求極限,.在函數(shù)極限的性質(zhì)中有迫斂性:且在某有例4 求解 由此當時,當時故 例5 利用迫斂性求函數(shù)極限.解 因有
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