20xx畢業(yè)論文-數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-02-09 16:12 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 我們知道如果每次求極限都用定義法的話，. 求,其中.解：分子分母同乘，所求極限式化為 .由知，當(dāng)時(shí)，所求極限等于；當(dāng)時(shí)，由于，得到 求，其中.解: 若，則顯然有；若，則由得 ；若，則 . 夾逼準(zhǔn)則求法 ，它不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法，而且也提供了一個(gè)求極限的工具. 求極限.解：因?yàn)? ，所以 .因 ，再由迫斂性知 . 求數(shù)列的極限.解： 記，這里，則 ,由上式得 ，從而有 , （2）數(shù)列是收斂于1的，因?qū)θ谓o的，取，不等式（2）的左右兩邊的極限皆為1,故由迫斂性得 . 設(shè)及，求.解：.事實(shí)上，先令，把寫(xiě)作， .由于， ，注意到，可表為有限個(gè)（個(gè)）無(wú)窮小的乘積，所以也是無(wú)窮小，即 . 單調(diào)有界定理求法 有的時(shí)候我們需要先判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂，再求其極限，此時(shí)該方法將會(huì)對(duì)我們有很大幫助，我們來(lái)看幾個(gè)例子. .解：.事實(shí)上， .因此從某一項(xiàng)開(kāi)始是遞減的數(shù)列，由單調(diào)有界原理知極限存在，在等式的等號(hào)兩邊令，得到, . 求極限（個(gè)根號(hào)）.解：設(shè)， 又由，設(shè)，則.因，故單調(diào)遞增.綜上知單增有上界，所以收斂.令由，對(duì)兩邊求極限得，故. 函數(shù)極限法 有些數(shù)列極限可先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求可能很方便，再利用歸結(jié)原則即可求出數(shù)列極限. ,即求.解：先求，因,再由歸結(jié)原則知. ,即求.解：，再由歸結(jié)原則知. ,即設(shè)及，求.解：（由洛比達(dá)法則），再由歸結(jié)原則知. 定積分定義法 通項(xiàng)中含有的數(shù)列極限，由于的特殊性，直接求非常困難，若轉(zhuǎn)化成定積分來(lái)求就相對(duì)容易多了. 求.解：令，,也即，所以. 求極限.解：因?yàn)? ， ，類(lèi)似地 ，由夾逼準(zhǔn)則知 .注：在此式的求解中用到了放縮法和迫斂性. Stoltz公式法Stoltz公式，在求某些極限時(shí)非常方便，尤其是當(dāng)時(shí)特別有效. ，（1）式證明.證明：前面用定義法證明，現(xiàn)用Stoltz公式證明.令，則由Stoltz公式得到 . 求.解： （Stoltz公式） ＝ （二項(xiàng)式定理） ＝. 幾何算術(shù)平均收斂公式法 ,下面我們通過(guò)例子會(huì)發(fā)現(xiàn)很多類(lèi)型的數(shù)列極限可以用此方法來(lái)簡(jiǎn)化其求法. ，其中.解：令,（2）知 . .解：令,（2）知 . .解：令,則 ＝.所以 ，也即，（2）知 .故 . 求.
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