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正文內(nèi)容

20xx畢業(yè)論文-數(shù)列極限的求法及其應(yīng)用(編輯修改稿)

2025-02-09 16:12 本頁(yè)面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 我們知道如果每次求極限都用定義法的話,. 求,其中.解:分子分母同乘,所求極限式化為 .由知,當(dāng)時(shí),所求極限等于;當(dāng)時(shí),由于,得到 求,其中.解: 若,則顯然有;若,則由得 ;若,則 . 夾逼準(zhǔn)則求法 ,它不僅給出了判定數(shù)列收斂的一種方法,而且也提供了一個(gè)求極限的工具. 求極限.解:因?yàn)? ,所以 .因 ,再由迫斂性知 . 求數(shù)列的極限.解: 記,這里,則 ,由上式得 ,從而有 , (2)數(shù)列是收斂于1的,因?qū)θ谓o的,取,不等式(2)的左右兩邊的極限皆為1,故由迫斂性得 . 設(shè)及,求.解:.事實(shí)上,先令,把寫(xiě)作, .由于, ,注意到,可表為有限個(gè)(個(gè))無(wú)窮小的乘積,所以也是無(wú)窮小,即 . 單調(diào)有界定理求法 有的時(shí)候我們需要先判斷一個(gè)數(shù)列是否收斂,再求其極限,此時(shí)該方法將會(huì)對(duì)我們有很大幫助,我們來(lái)看幾個(gè)例子. .解:.事實(shí)上, .因此從某一項(xiàng)開(kāi)始是遞減的數(shù)列,由單調(diào)有界原理知極限存在,在等式的等號(hào)兩邊令,得到, . 求極限(個(gè)根號(hào)).解:設(shè), 又由,設(shè),則.因,故單調(diào)遞增.綜上知單增有上界,所以收斂.令由,對(duì)兩邊求極限得,故. 函數(shù)極限法 有些數(shù)列極限可先轉(zhuǎn)化為函數(shù)極限求可能很方便,再利用歸結(jié)原則即可求出數(shù)列極限. ,即求.解:先求,因,再由歸結(jié)原則知. ,即求.解:,再由歸結(jié)原則知. ,即設(shè)及,求.解:(由洛比達(dá)法則),再由歸結(jié)原則知. 定積分定義法 通項(xiàng)中含有的數(shù)列極限,由于的特殊性,直接求非常困難,若轉(zhuǎn)化成定積分來(lái)求就相對(duì)容易多了. 求.解:令,,也即,所以. 求極限.解:因?yàn)? , ,類(lèi)似地 ,由夾逼準(zhǔn)則知 .注:在此式的求解中用到了放縮法和迫斂性. Stoltz公式法Stoltz公式,在求某些極限時(shí)非常方便,尤其是當(dāng)時(shí)特別有效. ,(1)式證明.證明:前面用定義法證明,現(xiàn)用Stoltz公式證明.令,則由Stoltz公式得到 . 求.解: (Stoltz公式) = (二項(xiàng)式定理) =. 幾何算術(shù)平均收斂公式法 ,下面我們通過(guò)例子會(huì)發(fā)現(xiàn)很多類(lèi)型的數(shù)列極限可以用此方法來(lái)簡(jiǎn)化其求法. ,其中.解:令,(2)知 . .解:令,(2)知 . .解:令,則 =.所以 ,也即,(2)知 .故 . 求.
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