等價無窮小量在求極限中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-22 03:50 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 nsil220?原 式會發(fā)現(xiàn)，分子分母上的求導(dǎo)運(yùn)算越來越復(fù)雜，并沒有起到簡化的作用。那么怎么辦呢?我們這時候要想到等價無窮小替換，如果在第（1）步中對分母上的無窮小量 用等sinx價無窮小量 來替換，則x 3124co8lim24sili12coslim42cosin2lmsinl 00030420 ?????????? ????? xxx xxxxx原 式這時再使用洛比達(dá)法則，運(yùn)算過程就變的簡單了。6同樣的我們看到下面這個例題： 例 8 )sin(talm0xx?? 解： 原式 （用洛必達(dá)法則）xx220sec)co(tinl?? （將 x=0 代入）taisli0x?? （用洛必達(dá)法則）)sin(talmco)(sinelm0220 xxx ?? ???用洛必達(dá)法則求不出結(jié)果，？用等價無窮小量代換. 用等價無窮小量求極限回到上面的例 8，因?yàn)?x～sinx～tanx(x→0)，所以,原式= =1，問題迎刃而解。0limx??我們再一次看到了洛必達(dá)法則的局限性以及等價無窮小替換的方便。例 9 xxcos1tanlim40???求解 當(dāng) → 時, ～ , ～ .21xtan.21li20??x原 式同樣的，這里如果只使用洛必達(dá)法則，上式越變越復(fù)雜,等價無窮小替換就方便的多了。那么是不是任何時候都可以用等價無窮小來替換呢？7 等價無窮小代換的局限性下面我們通過一個例題來具體討論一下：例 10:（1） （2）30sin2talimxx??xx3sinlm0??先算第（1）題，利用重要極限和運(yùn)算法則直接求： 2sin2talim2sintali2)cos1(tanli2sitanli 0303030 ???????????? ?xxxx xxxx如果改用等價無窮小替換： 30tlimx??li30?x明顯這是一個錯誤的結(jié)論。同樣的第（2）題也利用重要極限和運(yùn)算法則直接求： 03sin1li3sinlm00 ???????????xxxx改用等價無窮小計(jì)算： 可是為什么會這樣呢？有的可以作等價替換，而有的題目作替換后就出錯？【注意】兩個函數(shù)相減時就不能隨便用等價無窮小替換了。那么怎么判斷兩個函數(shù)相減時用等價無窮小替換到底是不是合適的呢？其實(shí)我們只要搞清楚等價無窮小代換的實(shí)質(zhì)，原因就出在它的余項(xiàng)上。第（1）題若用等價無窮小，實(shí)際上應(yīng)當(dāng)為 302sintalimxx?? 3030 2)(lim2)()(limxxx ????????因?yàn)榉肿邮?的高階無窮小，而不是 的高階無窮小，所以 不一定等于零。302)(lix第（2）題中8.xx3sinlm0?? 0)(lim3)()(li 00 ??????xxx ??【注】無窮小量的的和，差，積還是無窮小量。這里分子是 的高階無窮小，那么分子與 的比值的極限為零。也就是余項(xiàng)的階數(shù)一定要統(tǒng)一，在余項(xiàng)的階數(shù)不同的情況下，就不可隨便等價代換。以上結(jié)果說明在錯用等價無窮小量時，一般是階數(shù)的判斷上出現(xiàn)錯誤，那么階數(shù)應(yīng)該怎么求呢？請看下面的例題 階數(shù)的求法例 11 .2sinta,0的 階 數(shù)關(guān) 于求時當(dāng) xxx??解 30si2tanlimx?4)cos1t(lim20???x 的 三 階 無 窮 小 。是 關(guān) 于?例 12 .tan,:3的 四 階 無 窮 小為時當(dāng)證 明證： 430tanlix?1)(li30?x所以，當(dāng) 。也就是，只要使得兩個作比較的無的 四 階 無 窮 小是 關(guān) 于時 x3tan,窮小量的極限的是常數(shù)，此時，與之作比較的變量 的冪就是階數(shù)。x如果作比較的無窮小量階數(shù)不同，即等價無窮小替換出現(xiàn)條件限制，而使用洛必達(dá)法則又很復(fù)雜的情況下，我們還可以考慮使用泰勒公式。 利用泰勒公式求函數(shù)極限泰勒定理：若函數(shù) 在[a,b]上存在直至 n 階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，在（a,b）內(nèi)存在（n+1）f階導(dǎo)函數(shù)，則對任意給定的 ∈[a,b]，至少存在一點(diǎn) ε∈（a,b）,使得0,x 10)1(00)(039。0 )!)!)()( ???????? nnn xfxfxffxf ???一般我們用到的都是 時的特殊形式：?)(!)0()0()(39。 nnxfxfxf ??????也稱為（帶有佩亞諾余項(xiàng)的）麥克勞林公式。下面我們將用到這兩個公式，9讓我們將例 10 稍作修改，以便計(jì)算第（1）題求 改為 302sintalimxx?? 求 30tnlix同樣，是在 時，將 與 作比較，所以將 和 都要展開到 項(xiàng)，xsinta?3xtansi3x有如下展開式： , 31tn()xo??3si()!xo???則 30tasilimx??33 330 01[()]2l limx xxx??
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