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正文內(nèi)容

等價(jià)無窮小量在求極限中的應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)

2024-07-22 03:50 本頁面
 

【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 nsil220?原 式會(huì)發(fā)現(xiàn),分子分母上的求導(dǎo)運(yùn)算越來越復(fù)雜,并沒有起到簡(jiǎn)化的作用。那么怎么辦呢?我們這時(shí)候要想到等價(jià)無窮小替換,如果在第(1)步中對(duì)分母上的無窮小量 用等sinx價(jià)無窮小量 來替換,則x 3124co8lim24sili12coslim42cosin2lmsinl 00030420 ?????????? ????? xxx xxxxx原 式這時(shí)再使用洛比達(dá)法則,運(yùn)算過程就變的簡(jiǎn)單了。6同樣的我們看到下面這個(gè)例題: 例 8 )sin(talm0xx?? 解: 原式 (用洛必達(dá)法則)xx220sec)co(tinl?? (將 x=0 代入)taisli0x?? (用洛必達(dá)法則))sin(talmco)(sinelm0220 xxx ?? ???用洛必達(dá)法則求不出結(jié)果,?用等價(jià)無窮小量代換. 用等價(jià)無窮小量求極限回到上面的例 8,因?yàn)?x~sinx~tanx(x→0),所以,原式= =1,問題迎刃而解。0limx??我們?cè)僖淮慰吹搅寺灞剡_(dá)法則的局限性以及等價(jià)無窮小替換的方便。例 9 xxcos1tanlim40???求解 當(dāng) → 時(shí), ~ , ~ .21xtan.21li20??x原 式同樣的,這里如果只使用洛必達(dá)法則,上式越變?cè)綇?fù)雜,等價(jià)無窮小替換就方便的多了。那么是不是任何時(shí)候都可以用等價(jià)無窮小來替換呢?7 等價(jià)無窮小代換的局限性下面我們通過一個(gè)例題來具體討論一下:例 10:(1) (2)30sin2talimxx??xx3sinlm0??先算第(1)題,利用重要極限和運(yùn)算法則直接求: 2sin2talim2sintali2)cos1(tanli2sitanli 0303030 ???????????? ?xxxx xxxx如果改用等價(jià)無窮小替換: 30tlimx??li30?x明顯這是一個(gè)錯(cuò)誤的結(jié)論。同樣的第(2)題也利用重要極限和運(yùn)算法則直接求: 03sin1li3sinlm00 ???????????xxxx改用等價(jià)無窮小計(jì)算: 可是為什么會(huì)這樣呢?有的可以作等價(jià)替換,而有的題目作替換后就出錯(cuò)?【注意】?jī)蓚€(gè)函數(shù)相減時(shí)就不能隨便用等價(jià)無窮小替換了。那么怎么判斷兩個(gè)函數(shù)相減時(shí)用等價(jià)無窮小替換到底是不是合適的呢?其實(shí)我們只要搞清楚等價(jià)無窮小代換的實(shí)質(zhì),原因就出在它的余項(xiàng)上。第(1)題若用等價(jià)無窮小,實(shí)際上應(yīng)當(dāng)為 302sintalimxx?? 3030 2)(lim2)()(limxxx ????????因?yàn)榉肿邮?的高階無窮小,而不是 的高階無窮小,所以 不一定等于零。302)(lix第(2)題中8.xx3sinlm0?? 0)(lim3)()(li 00 ??????xxx ??【注】無窮小量的的和,差,積還是無窮小量。這里分子是 的高階無窮小,那么分子與 的比值的極限為零。也就是余項(xiàng)的階數(shù)一定要統(tǒng)一,在余項(xiàng)的階數(shù)不同的情況下,就不可隨便等價(jià)代換。以上結(jié)果說明在錯(cuò)用等價(jià)無窮小量時(shí),一般是階數(shù)的判斷上出現(xiàn)錯(cuò)誤,那么階數(shù)應(yīng)該怎么求呢?請(qǐng)看下面的例題 階數(shù)的求法例 11 .2sinta,0的 階 數(shù)關(guān) 于求時(shí)當(dāng) xxx??解 30si2tanlimx?4)cos1t(lim20???x 的 三 階 無 窮 小 。是 關(guān) 于?例 12 .tan,:3的 四 階 無 窮 小為時(shí)當(dāng)證 明證: 430tanlix?1)(li30?x所以,當(dāng) 。也就是,只要使得兩個(gè)作比較的無的 四 階 無 窮 小是 關(guān) 于時(shí) x3tan,窮小量的極限的是常數(shù),此時(shí),與之作比較的變量 的冪就是階數(shù)。x如果作比較的無窮小量階數(shù)不同,即等價(jià)無窮小替換出現(xiàn)條件限制,而使用洛必達(dá)法則又很復(fù)雜的情況下,我們還可以考慮使用泰勒公式。 利用泰勒公式求函數(shù)極限泰勒定理:若函數(shù) 在[a,b]上存在直至 n 階的連續(xù)導(dǎo)函數(shù),在(a,b)內(nèi)存在(n+1)f階導(dǎo)函數(shù),則對(duì)任意給定的 ∈[a,b],至少存在一點(diǎn) ε∈(a,b),使得0,x 10)1(00)(039。0 )!)!)()( ???????? nnn xfxfxffxf ???一般我們用到的都是 時(shí)的特殊形式:?)(!)0()0()(39。 nnxfxfxf ??????也稱為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式。下面我們將用到這兩個(gè)公式,9讓我們將例 10 稍作修改,以便計(jì)算第(1)題求 改為 302sintalimxx?? 求 30tnlix同樣,是在 時(shí),將 與 作比較,所以將 和 都要展開到 項(xiàng),xsinta?3xtansi3x有如下展開式: , 31tn()xo??3si()!xo???則 30tasilimx??33 330 01[()]2l limx xxx??
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