【文章內容簡介】 an成立，那么稱 是數列 { ?}的極限。 函數極限的標準定義： (1)設函數 ()fx， x 大于某一正數時有定義，若存在常數 A ，對于任意 0?? ，總存在正整數 X 使得 xX? 時，成立，那么稱函 ()fx在無窮處的極限為 A 。 (2)設函數 ()fx在 0x 處的某一去心領域內有定義，若存在常數 A，對于任意 0?? ，總存在正數 ? ，使得當 0xx???時，0()f x x ???成立，那么稱A 是函數 ()fx在 0x 處的極限。 定理 （唯一性） 若極限)(lim0 xfxx?存在，則此極限是唯一的。 定理 （局部有限性） 若 0fxx存在，則在0x的某空心鄰域)( 00 xU內有界。 定理 （局部保號性） 若0)(lim0 ??? Axfxx (或0?)，則對任何正數??r （或 ???r),存)( 00 xU在，使得對一切)( 00 xUX?有 7 0)( ??rxf（或0)( ??? rxf） （注： 在以后應用局部保號性時 ，常取2Ar?。） 定理 （保不等式性） 設)(lim0 xfxx?與都)(lim0 gxx?都存在，且在某鄰域)。( 39。0 ?U內有)() xgf ?，則 )(lim)(lim 00 xgxf xxxx ?? ? 定理 （迫斂性） 設Axgxf xxxx ?? ?? )(lim)(lim 00，且在某)。( 39。00 ?U內有 )()()( xgxhxf ?? 則Ahxx ?? )lim0. 定理 （四則運算法則） 若極限(lim0 xfxx?與)(lim0 gxx?都存在，則函數 gfgf ?? ,當x時極限也存在，且 1）? ? )(lim)(lim)()(lim 000 xgxfxgxf xxxxxx ??? ???； 2）? ? )(lim)(lim)()( 000 xgxfxgxf xxxxxx ?? ??； 又若0)(lim0 ?? xgxx，則gf/當0x?時極限存在，且有 3）)(lim/)(lim)( )( 000 xgxfxg xf xxxxxx ???。 定理 （單調有界定理） 在實數系中，有界的單調數列必有極限。 定理 （柯西收斂準則） 數列}{na收斂的充要條件是：對任給的0??，存在正整數 ?，使得當?mn,時有 .??? mn aa 8 4 極限思想的應用 在我們日常生活當中，尤其是在學習數學這門專業(yè)時，極限思想應用的非常廣泛，有好多的數學問題都可以轉換成用極限思想來解決。如在割圓術中、在開方方面、在微積分中，甚至于在求解某一點問題時運用極限思想是問題簡單明了。 劉徽的“割圓術”目標是計 算圓面積，而計算圓面積是人類在處理方法從“直”跨入“曲”的關鍵的一步，是人類在思想觀念上從“有限”進入“無窮”的一次飛躍，深刻理解它，并掌握這種大智慧，就能在思想觀念和處理方法上實現向高等數學的轉變，它是開啟高等數學大門的金鑰匙。 總觀“割圓術”可表達為如下三個環(huán)節(jié)：割分，修補，重復。 具體如下：劉徽考察圓內接多邊形。他先從六邊形做起，然后將六等份的每個弧段再對半二分，結果生成圓的內接正 12 邊形，直觀上可以明顯看出12 邊形更接近于圓周。重復弧段逐步對分的三分過程，即每分割一次內接多邊形的邊數增長一倍，如此下去，（設內接近 n 形面積為 S（ n），圓面積為 S*），如前文所述有： S（ 6）→ S（ 12）→ S（ 24）→?→ S* 由此可見，在劉徽的心目中，割圓是個割之又割的無限過程，是通 向無窮之路。單從“割”來看還不足以顯示古代中國數學泰斗劉徽的大智慧，劉徽 的真正亮點是圓面積公式的推導發(fā)及圓周率的計算上，發(fā)現我們將看到劉徽的光輝思想與晚他 1000 多年才提出的極限論是如此驚人的符合。 《九章算術》開方術說“若開元不盡者，為不可開。當以面命之?！边@就 9 是說，凡開不盡的數，可以以面命之?！耙悦婷本褪怯鄶当硎?，即： rArA ???2 其中，? ?rA?2為被開方數 A 為其平方根的近似值， r 為開方不盡的余數。 在古代，為了表示開方不盡數的值。一般常用的方法是，加借算命分和不加借算命分。 這兩種方法并不是理想的方法，所以劉徽說，“令不加借算而命兮，則又徽分。其數不可得而定故堆以而命之，為不失和， ” 就是說只有rArA ???2沒有誤差。但是由于這種表示方法不夠具體，于是劉徽利用極限思想創(chuàng)立了十進制的表示法。 他說：“不以面命之，加定法如前，求其徽數?；諗禑o名者 以為分子，其一認十為母，其再實以百為母。退之彌下，其分彌細。則朱冪雖有所棄之數，不是言之也。”這就是： rAaaaAS nnnx ???????? ?????? 2221 101010lim ? 其中 A 為整數，naaa ?, 21是平方根的十進分數的分子都是一位整數。而 ? ?naaaAS ????? ?211 取近似值，則得： ?????? ?????? nnaaaArA 101010 2212 ?或nSrA ??2 因為古代是用正方形來解釋開平方的，所謂“朱冪”相當于被開方數與近似平方根的平方之差。 用現代符號表示：? ? 22 nSrA ??或? ? 22212 101010 ?????? ?????? nnaaaAr ?而? ?? ? 022 ??? nSr實際上，這就是極限在開方方面的應用 。 10 人們把基礎數學區(qū)分為初等數學與高等數學。高等數學的基礎是微積分，在創(chuàng)建微積分的過程中，牛頓和萊布尼茨都特別強調微積分是“無窮”的數學，微積分發(fā)明后，人們長期習慣于稱這為“無窮小分析”。通俗地說高等數學是無窮的數學，而初等數學則是有限數學，這樣是否包容“無窮”便成了劃分高等數學與初