泰勒公式的余項(xiàng)及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-02-09 09:24 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 求極限、求斂散性、估計(jì)無(wú)窮（?。┐罅康碾A級(jí)命題證明等方面扮演著很重要的角色，甚至起著不可替代的作用 . 求極限 為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算，有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開(kāi)式來(lái)代替該項(xiàng)， 使得原來(lái)函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類(lèi)似多項(xiàng)式有理分式的極限，就能 簡(jiǎn)捷 的求出 . 2 例 1 求 2240coslim xxxex ??? 分析 此題分母為 4x ，如果用洛比達(dá)法則，需連用 4 次，比較麻煩 .而用帶皮 亞諾余項(xiàng)的泰勒公式解求較簡(jiǎn)單 . 解 ? ?2 4 411c o s 1 2 ! 4 !x x x o x? ? ? ?， ? ?0x? ? ?2 22 42 11 2 2 ! 2x xxe o x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?， ? ?0x? 所以 ? ?2 442 1c o s 12xx e x o x?? ? ? ?， ? ?0x? 于是 2240co s 1l i m 12xxxex ??? ??. 帶有佩亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式是求函數(shù)極限的一個(gè)非常有力的工具 ,運(yùn)用得當(dāng)會(huì)使求函數(shù)的極限變得十分簡(jiǎn)單 . 判斷 級(jí)數(shù) 斂散性 周知，要 使用比較判別法 判斷一個(gè)正項(xiàng)級(jí)數(shù)1 nn u???是否收斂，只要能找到一個(gè)相對(duì) “ 比較簡(jiǎn)單 ” 的級(jí)數(shù)1 nn v???（如 ? ?1 0n pvpn??）， 且 lim nx nu kv?? ? ? ?0 k? ??? ()a 若 0 k? ??? ，則級(jí)數(shù)1 nn u???與1 nn v???有相同的斂散性 . ()b 若 0k? ，且級(jí) 數(shù)1 nn v???收斂，則級(jí)數(shù)1 nn u???也收斂 . ()c 若 k?? ，且級(jí)數(shù)1 nn v???發(fā)散，則級(jí)數(shù)1 nn u???也發(fā)散 . 問(wèn)題是 如何尋找1 nn v???同時(shí)求出極限 k ，且希望 0 k? ??? ，利用泰勒公式可以解決 . 例 2 討論級(jí)數(shù)1111( s in )nnna nn????????的斂散性 . 解 由泰勒展開(kāi)式得 3 11sinna nn?? 411 1 13n on n n??????? ? ? ? ?????? 3 221 1 16 o nn??? ? ? ????. 選取比較級(jí)數(shù)31121nnnb n???????，因?yàn)? 22321 1 16 1l i m l i m 1 6nxxno nb nan? ? ? ????? ??????， 而級(jí)數(shù)31121nnna n???????收斂，所以由級(jí)數(shù)斂散性判別知級(jí)數(shù) 11 11( s in )nnna nn???????? 收斂 . 估計(jì)無(wú)窮（?。┐罅康碾A 如何估計(jì)無(wú)窮（小）大量的階，對(duì)于簡(jiǎn)單函數(shù)可以用估猜法，但對(duì)于復(fù)雜的函數(shù)（特別是帶參數(shù)）就無(wú)能為力了，但用帶皮亞諾型余項(xiàng)的泰勒公式就可以迎刃而解 . 例 3 當(dāng) 0x? 時(shí)，函數(shù) ? ? ? ?2 3l n 1 sin 2 c o s 1y x x?? ? ? ? ?是多少階無(wú)窮小量？其中 ? 是參數(shù) . 解 因?yàn)? ? ? ? ?? ?22 2 2 2 21l n 1 s in s in ( s in ) s in2x x x o x? ? ? ? ? ?2433 413 ! 2 3 !xxx x o x? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?. ? ? ? ?22 4 2 41 43 3 112 c o s 1 1 c o s 1 3 2 ! 4 ! 9 2 ! 4 !x x x xx x o x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?2
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