多元函數的極值和求法(編輯修改稿)
2025-06-12 03:54 本頁面
【文章內容簡介】 問題為求函數 在區(qū)域：，內的最大值． 因為，解方程組 ，得，．由實際問題可知，函數必在內取得最大值，而在區(qū)域內部只有唯一的駐點，則函數必在該點處取得最大值，即把分成三等份，乘積最大．另外還可得出，若令，則 即 ．三個數的幾何平均值不大于算術平均值．三．條件極值，拉格朗日乘數法 引例 求函數的極值． 該問題就是求函數在它定義域內的極值，前面求過在取得極小值；若求函數在條件下極值，這時自變量受到約束，不能在整個函數定義域上求極值，而只能在定義域的一部分的直線上求極值，前者只要求變量在定義域內變化，而沒有其他附加條件稱為無條件極值，后者自變量受到條件的約束，稱為條件極值．如何求條件極值？有時可把條件極值化為無條件極值，如上例從條件中解出，代入中，得成為一元函數極值問題，令，得，求出極值為．但是在很多情形下，將條件極值化為無條件極值并不這樣簡單，我們另有一種直接尋求條件極值的方法，可不必先把問題化為無條件極值的問題，這就是下面介紹的拉格朗日乘數法．利用一元函數取得極值的必要條件．求函數在條件下取得極值的必要條件．若函數在取得所求的極值，那么首先有 ．假定在的某一鄰域內函數與均有連續(xù)的一階偏導數，且．有隱函數存在定理可知，方程確定一個單值可導且具有連續(xù)導數的函數，將其代入函數中，得到一個變量的函數 于是函數在取得所求的極值，也就是相當于一元函數在取得極值．由一元函數取得極值的必要條件知道
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