函數(shù)的極值及其應用(編輯修改稿)
2025-07-15 23:38 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 二元函數(shù)極值存在的必要條件設二元函數(shù)在點處有極值，且兩個偏導數(shù)存在，則在該點的偏導數(shù)必為零，即且．凡是能使且的點稱為二元函數(shù)的駐點．極值存在的必要條件說明，如果二元函數(shù)的兩個偏導數(shù)存在，則二元函數(shù)的極值點一定是駐點．但是二元函數(shù)的駐點不一定是極值點．例如，點是函數(shù)的駐點，因為且，但是函數(shù)在點不存在極值．與一元函數(shù)的情形相同，二元函數(shù)在偏導數(shù)不存在的點上也有可能取得極值．例如，在原點沒有偏導數(shù)，但是的極小值． 二元函數(shù)極值存在的充分條件 設函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù)且有二階連續(xù)的偏導數(shù)，有且，記二階偏導數(shù)為，，則函數(shù)在點處是否取得極值的條件如下：(1) 當且時，函數(shù)在點處取得極大值；(2) 當且時，函數(shù)在點處取得極小值；(3) 當時，函數(shù)在點處不取得極值；(4) 當時，函數(shù)在點處可能取得極值，也可能不取得極值． 二元函數(shù)極值的實例分析及應用例７ 求二元函數(shù)的極值．解 根據(jù)題意： (1) 首先求出二元函數(shù)的偏導：，，．(2) 然后解方程組：，可得到駐點和．(3) 分析的符號：當時，有，，；而當時有，，．(4) 求二元函數(shù)的極值：綜合以上得出的結果可知二元函數(shù)在點處取得極大值，在點處不存在極值，即二元函數(shù)的極大值是．例8 求二元函數(shù)的極值．解 根據(jù)題意： (1) 首先求出二元函數(shù)的偏導數(shù) ． (2) 然后解方程組，可以得到駐點及，．(3) 判斷的符號：當時，因為，且，所以；當時，因為，而且，所以；當時，因為，且，所以；當時，因為，，所以．(4) 分析極值：在點處，因為且，所以二元函數(shù)在點處可以取得極小值，并且極小值為；但是，在點處，所以二元函數(shù)在點處不能取得極值；在點處，所以二元函數(shù)在點處不取得極值；在點處，且，所以二元函數(shù)在點處取得極大值，且極大值為．根據(jù)以上例題可以總結出求二元函數(shù)極值的一般步驟：(1) 首先求偏導數(shù)，，；(2) 然后解方程組，求出駐點；(3) 求出二元函數(shù)在駐點處，的值并確定的符號，據(jù)此判定出極值點；(4) 求出二元函數(shù)的極大值或者極小值． 二元函數(shù)極值的高階判別法現(xiàn)在單變量函數(shù)的極值的識別已建立起了階判別法，至于兩個變量函數(shù)極值的識別（非條件極值），有以下兩個結論：結論1（一階判別法）設在點處偏導數(shù)存在，且，中有一個不是0，則非極值．結論2（二階判別法）設在點某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)偏導數(shù)，且，記，則有下列結論：(1) 若，是極值，且當時，是極大值，而當時，是極小值．(2) 若，非極值．(3) 若，是否為極值無法判別．上述結論的確很有用，但也存在著明顯的局限性，有時它們對某些極簡單的函數(shù)的極值均無法做出判斷．例如，當在點的一階偏導數(shù)、二階偏導數(shù)全都為零時（此時上述結論均失效
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