積分上限函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用論(編輯修改稿)
2025-02-02 19:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 數(shù) ?? xa dttfxs )()(在 ],[ ba 上連續(xù) (3) 可導(dǎo)性 若 )(xf 在 ],[ ba 上連續(xù) , 則積分上限函數(shù) ?? xa dttfxs )()(在 ],[ ba 上可導(dǎo) , 并且 ( ) ( ) ( ) ( )xads x f t d t f x a x bdx? ? ? ? ?? . (4) 可積性 若函數(shù) ??xf 在 ? ?ba, 上連續(xù) ,則函數(shù) ??sx在區(qū)間 ? ?ba, 上可積 .特別是 ,若函數(shù) ??xf 連續(xù) ,則有 ? ? ? ? ? ?? ?? ????????a ax dxxfxadxdttf0 00 . 2 3積分上限函數(shù)的應(yīng)用 證明積分等式與不等式 例 1 設(shè) ??xf 和 ??xg 在 ? ?ba, 上連續(xù) ,證明 :至少存在一點(diǎn) ? ?ba,?? ,使 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ?? ab dxxfgdxxgf . 證明 令 ? ? ? ? ? ???? bxxa dttgdttfxF.由于 ??xf , ??xg 在 ? ?ba, 上連續(xù) ,所以 ??xF 在 ? ?ba, 上連續(xù) ,在 ? ?ba, 內(nèi)可導(dǎo) ,且 ? ? ? ?bFaF ? ,由羅爾定理 ,至少存在一點(diǎn) ? ?ba,?? ,使得 ? ? 0F ?? ? ,而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?bxxaF x f x g t d t g x f t d t? ????, 從 而 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0b aF f g t d t g f t d t??? ? ?? ? ? ???, 即 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? ?? ab dxxfgdxxgf . 例 2 若 ??xf 和 ??xg 在 ? ?ba, 上連續(xù) ,則 ? ? ? ? ? ? ? ??? ??????? baba dxxgxfdxxgxf 222. 證明 令 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 222 ????????? ??? xaxaxa dttgtfdttgdttfxF,則 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2 2 2 2 2x x xa a aF x f x g t d t g x f t d t f x g x f t g t d t? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ???? xa dtxgtftgtfxgxftgxf 2222 2 ? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ??? xa dtxgtftgxf 02. 所以 ??xF 在 ? ?ba, 上單調(diào)增加 ,從而 ? ? ? ?aFbF ? . 求冪級數(shù)的和函數(shù) 例 3 求和函數(shù)1 ( 1)nn n n x?? ??. 解 設(shè) ),1,1(,)(11 ??? ???? xnxxsnn 則 1 2 1011()x nnnns x d x n x x n x???????????, 設(shè) ,)(111 ?????nnnxxs 則 ,1)( 10 1 xxnxdxxs n nx ??? ?? ?? 求導(dǎo)得 ,)1( 1)( 21 xxs ?? 因?yàn)? 3 ,)1()()( 2210 2 xxxsxdxxsx ???? 再求導(dǎo) , 得 .)1( 2)( 2xxxs ?? 求解函數(shù)方程 例 4 設(shè) )(xf 在任意有限區(qū)間上可積且滿足方程 )()()( yfxfyxf ??? (1) 試證： )(xf ax? ，其中 )1(fa? . 證明 要證 )(xf ax? ，當(dāng) 0?x 時(shí)即要證 xxf )( =常數(shù) .或 ? 0, ?yx ，yyfxxf )()( ?, 即xyfyxf )()( ? 在已知方程 ),()()( yftfytf ??? 兩邊對 t 取積分 ? ? ???x x xyfdttfdtytf0 0 ,)()()( 但
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