【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 （4）分部積分 設(shè)在上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，則具體的用法是 如果能夠計(jì)算出就可以計(jì)算出定積分的湊微分、變量替換、分部積分與不定積分中三種方法適合的被積函數(shù)相同，即不定積分用三種的哪一種方法，定積分也用三種方法的哪一種。（5）設(shè)f(x)在[a,a]上連續(xù)，則事實(shí)上， 而故得證推論證 由于且為偶函數(shù)， 為奇函數(shù)，于是（6）設(shè)f(x)為周期函數(shù)且連續(xù)，周期為T，則.事實(shí)上由于于是（7）設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，則事實(shí)上 移項(xiàng)兩邊同除以2得.（8）事實(shí)上記 于是由于遞推公式每次降2次，要討論n為奇偶數(shù)的情形，由故例30 計(jì)算.解 原式例31 計(jì)算.解 原式.例32 計(jì)算.解 原式 。例33 計(jì)算.解法一 原式 .解法二 令則于是原式 例34 計(jì)算 .解 令則時(shí)，時(shí)。于是原式例35 設(shè)計(jì)算解法一 原式 xππtt=x圖51 解法二 例36 計(jì)算解 由于即于是原式例37 計(jì)算.解 利用方法（7）得原式例38 計(jì)算.解 設(shè)則于是原式例39 計(jì)算.解 利用區(qū)間的對(duì)稱性與被積函數(shù)的奇偶性得原式 （利用定積分幾何意義）.例40 計(jì)算.解 雖然在上即不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)，更不能直接求出原函數(shù)，但我們可以利用得原式.例41 設(shè)f(x)在[0，1]上連續(xù)，計(jì)算解 設(shè)于是得例42 計(jì)算.解 原式由于所以原式例43 證明,并計(jì)算。證 由，知的周期為，當(dāng)然也是它的周期，利周期函數(shù)定積分的性質(zhì)，有而由于2n是偶數(shù)，故例44 設(shè)函數(shù)滿足，且求解法一 由，于是有，解得，因此原式 解法二 同解法1，得例45 設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)滿足且，計(jì)算解法一 解法二 當(dāng)時(shí)，于是例46 設(shè)解 原式例47 設(shè)求.1x0圖52x解 由于(i)當(dāng)時(shí)x01x原式圖53(ii)當(dāng)時(shí)原式注：由于|t|實(shí)際上是分段函數(shù)，故需要討論x的范圍，從而可把被積函數(shù)中的|t|換成相應(yīng)的表達(dá)式。1x0圖541x例48 設(shè)的表達(dá)式。解 與上題解法類似，當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)10x圖551x 例49 計(jì)算 。解 原式由于知ba=1，設(shè)由令得知在[0，1]上可積，而此和式是把[0，1]n等分，取每個(gè)小區(qū)間的右端點(diǎn)得到的和式，故原式例50 設(shè)表示距離x最近整數(shù)的距離，計(jì)算解 由且為周期函數(shù)，周期為1，于是例51 計(jì)算.解 原式 .例52 設(shè)在[0，2]上連續(xù)，且求解 原式 2．定積分等式的證明例53 證明 .證 例54 證明.證 例55 設(shè)f(x)在[0,1]上連續(xù)，試證：.證 由是為周期的函數(shù)，當(dāng)然也是以為周期的函數(shù)，知也是以為周期的函數(shù)，于是 例56 證明.證 例57 證明.證 例58 設(shè)f(x)是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明.證 而 故. 3. 利用定積分及其性質(zhì)研究函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題例59 設(shè)f(x)為連續(xù)函數(shù)，且解 設(shè)得例60 已知f(x)滿足方程解 設(shè) 得兩邊平方后再積分有整理得 ，解得，所以例61 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)滿足 .解 令，有從而得到 ，令x=1有 例62 求連續(xù)函數(shù)f(x)，使?jié)M足解 代入等式并化簡(jiǎn)有，等式兩邊同時(shí)對(duì)x求導(dǎo)有 ，得 .于是 .例63 設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x) 滿足.解 設(shè)由于得.例64 求連續(xù)函數(shù)f(x)，使解 令則代入原式左邊得 等式兩邊對(duì)x求導(dǎo)有 ，化簡(jiǎn)得 兩邊不定積分得 .令，代入上式有 ，又代入上式得，故例65 設(shè)函數(shù)f(x)在內(nèi)連續(xù)，且，試證（1）若f(x)為偶函數(shù)，則F(x)也是偶函數(shù)；（2）若f(x)遞減，則F(x)遞增。證（1）由，所以. （2） 其中介于0,x之間，又f(x)遞減，當(dāng)x0時(shí)，當(dāng)，綜上所述知，即F(x)遞增。例66 證明：（1）f(x)是連續(xù)的奇函數(shù)，則偶函數(shù)；（2）偶函數(shù)的原函數(shù)僅有一個(gè)為奇函數(shù)。證（1）設(shè)為奇函數(shù)，知，于是故F(x)為偶函數(shù).（2）由f(t)是偶函數(shù)，知設(shè)F（x）= 僅當(dāng)是奇函數(shù)。例67 求函數(shù)在區(qū)間[e,e2]上的最大值.解 上單調(diào)增加，故例68 設(shè)函數(shù)f(x)在上連續(xù)，單調(diào)不減且試證函數(shù)在上連續(xù)且單調(diào)不減（其中n0）。證 當(dāng)x0時(shí)，F(xiàn)(x)連續(xù)，由洛必達(dá)法則，得在F(x)在上連續(xù)又當(dāng)x0時(shí)，其中，且f(x)為單調(diào)不減，有從而故F(x)在上單調(diào)不減.例69 設(shè)函數(shù)f(x)可導(dǎo)，且解 令于是例70 設(shè)證明（1），并由此計(jì)算In；（2）證（1）當(dāng)n=2k時(shí)，；當(dāng)n=2k+1時(shí)，其中（2）由時(shí)，有于是例71 設(shè)f(x)是連續(xù)的偶函數(shù)，設(shè)（1）證明(x)遞增；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，F(xiàn)(x)取最小值；（3）若F(x)的最小值為. 由f(x)為偶函數(shù)，知xf(x)為奇函數(shù)，有于是 （1）由，令, 解得x=0，而遞增。（2）由是唯一的極值且為極小值也是最小值，且（3）若，則有 .兩邊對(duì)a求導(dǎo)，得 .由，于是，由f(0)=1,代入得例72 證明：若上的連續(xù)函數(shù)f(x)滿足關(guān)系式，則f(x)必為周期函數(shù).證 設(shè)則.因而，又 ，即 所以f(x)是以1為周期的周期函數(shù).三、定積分的應(yīng)用微元法教材中討論的曲邊梯形面積、變力作功、變速直線運(yùn)動(dòng)路程、立體的體積等具有總量等于部分量之和的具體問(wèn)題，可以將定積分解決實(shí)際問(wèn)題的方法與步驟歸結(jié)為如下四步：第一步:[a,b]內(nèi)插入n 個(gè)分點(diǎn)，將［a,b］任意分為n個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)地把所求的量Q（如面積、功、路程、體積等）分為n個(gè)部分量且第二步:近似（求積分元）.在每個(gè)小區(qū)間上求出部分量的具有下面形式的近似值 （1）其中是上任一點(diǎn)，第三步:，得到所求量Q的近似值第四步:，得 （2）從上面過(guò)程可以看出，在上述四步中，關(guān)鍵是在第二步中寫(xiě)出區(qū)間上的部分量它一旦確定后，（因?yàn)榻剖且粋€(gè)模糊的量），（2）式寫(xiě)成列一般形式，設(shè)中的任何值都可以，自然也可以取它的左端點(diǎn)，即，這樣（2）式就變成了區(qū)間上的部分量 （3）如何正確地寫(xiě)出這個(gè)近似表達(dá)式，使得積分恰好就是所求的量Q呢？我們采取由結(jié)果找原因的方法設(shè)（2）式中的f(x)在[a,b]上連續(xù)，如果所求的量Q可表示為 （4）那么（4）式實(shí)際上就是函數(shù)（區(qū)間[a,x]上的量的值）在處的值，即由于在[a,b]上連續(xù)，且區(qū)間很小，所以有，從而這里再次看到與相差很小，即近似相等，但兩者近似到什么程度仍然不知道.實(shí)際上，由于由微