導數及其應用word版(編輯修改稿)
2025-02-03 15:20 本頁面
【文章內容簡介】 xxfxg )()( ? 在 ),0( ?? 上是增函數，所以當 0,0 21 ?? xx 時， 有222121112121 )()(,)()( xxfxx xxfxxfxx xxf ?????? 成立 ， 從而 )()(),()(2121 222121 11 xxfxx xxfxxfxx xxf ?????? 兩式相加得 )()()( 2121 xfxfxxf ??? 18. （本題滿分 12 分） 已知函數 ( ) lnf x x x? . （ Ⅰ ）求 ()fx的最小值； （ Ⅱ ）若對所有 1x? 都有 ( ) 1f x ax??，求實數 a 的取值范圍 . 18. 解析： ()fx的定義域為 0 ?(， +)， ………… 1 分 ()fx的導數 ( ) 1 lnf x x? ?? . ……………… 3 分 令 ( ) 0fx? ? ，解得 1ex? ；令 ( ) 0fx? ? ，解得 10 ex?? . 從而 ()fx在 10e??????，單調遞減，在 1e???????， +單調遞增 . ……………… 5 分 所以，當 1ex? 時， ()fx取得最小值 1e? . ………………………… 6 分 （ Ⅱ ） 解法一：令 ( ) ( ) ( 1)g x f x ax? ? ?，則( ) ( ) 1 l ng x f x a a x??? ? ? ? ?， …………………… 8 分 ① 若 1a? ，當 1x? 時， ( ) 1 ln 1 0g x a x a? ? ? ? ? ? ?， 故 ()gx 在 (1 )?， + 上為增函數， 所以， 1x? 時， ( ) (1) 1 0g x g a? ? ? ?，即 ( ) 1f x ax??.…………………… 10 分 ② 若 1a? ，方程 ( ) 0gx? ? 的根為 10 eax ?? ， 此時，若 0(1 )xx? ， ，則 ( ) 0gx? ? ，故 ()gx 在該區(qū)間為減函數 . 所以 0(1 )xx? ， 時， ( ) (1) 1 0g x g a? ? ? ?， 即 ( ) 1f x ax??，與題設 ( ) 1f x ax??相矛盾 . …………………… 13 分 綜上，滿足條件的 a 的取值范圍是 ( 1]??， . …………………………………… 14 分 解法二：依題意，得 ( ) 1f x ax??在 [1 )??， 上恒成立， 即不等式 1lnaxx??對于 [1 )x? ??， 恒成立 . …………………… 8 分 令 1( ) lng x x x??， 則21 1 1 1( ) 1gx x x x x??? ? ? ? ?????. …………………… 10 分
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