[理學(xué)]導(dǎo)數(shù)的涵義及其應(yīng)用的幾點(diǎn)說(shuō)明(編輯修改稿)
2025-04-19 13:16 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 數(shù)的應(yīng)用1. 函數(shù)的單調(diào)性我們可以用初等代數(shù)的方法討論函數(shù)的單調(diào)性，但是，由于方法的限制，這些討論既不全面又不深入，并且計(jì)算煩瑣不易掌握規(guī)律。這里導(dǎo)數(shù)為我們更廣泛更深入地研究函數(shù)的單調(diào)性提供了有利的工具。單調(diào)性的充要條件：定理1：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的充要條件是：在內(nèi)，（或）。定理2：（嚴(yán)格單調(diào)的充分條件）若在區(qū)間內(nèi)（或），則函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加（嚴(yán)格單調(diào)減少）。定理3：設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，則函數(shù)在內(nèi)嚴(yán)格單調(diào)增加（或嚴(yán)格單調(diào)減少）的充要條件是：若（非退化）區(qū)間則至少有一點(diǎn)，使。單調(diào)性判定定理的應(yīng)用與單調(diào)區(qū)間的求法：前三個(gè)定理用導(dǎo)數(shù)刻畫了函數(shù)的單調(diào)性要討論函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性，只需要求出該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，確定它的函數(shù)取正的區(qū)間和負(fù)的區(qū)間。實(shí)際上，只要求出這些函數(shù)的分界點(diǎn)。對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)有定理：定理4：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，為內(nèi)的一點(diǎn)，在的符號(hào)與在內(nèi)的相反，則推論：若函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo)，其導(dǎo)數(shù)在內(nèi)恒不為零，則在內(nèi)保持相同的符號(hào)?？蓪?dǎo)函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)應(yīng)是方程的根，對(duì)于一般的函數(shù)嚴(yán)格單調(diào)區(qū)間的分界點(diǎn)，不是方程的根，就是導(dǎo)函數(shù)的根。根據(jù)以上定理可得，討論函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性的步驟是：（1）
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