導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值(編輯修改稿)
2025-08-22 05:39 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 由表可知當k≤－3時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值為28；當－3k2時，函數(shù)h(x)在區(qū)間[k,2]上的最大值小于28. 因此k的取值范圍是(－∞，－3]．【總結(jié)與反思】 (1)求解函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]內(nèi)所有使f′(x)＝0的點，再計算函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間內(nèi)所有使f′(x)＝0的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得．(2)可以利用列表法研究函數(shù)在一個區(qū)間上的變化情況．五、課堂運用【基礎】(1)設函數(shù)f(x)＝x3－(1＋a)x2＋4ax＋24a，其中常數(shù)a1，則f(x)的單調(diào)減區(qū)間為________．【答案】 (2,2a)【規(guī)范解答】f′(x)＝x2－2(1＋a)x＋4a＝(x－2)(x－2a)，由a1知，當x2時，f′(x)0，故f(x)在區(qū)間(－∞，2)上是增函數(shù)；當2x2a時，f′(x)0，故f(x)在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)；當x2a時，f′(x)0，故f(x)在區(qū)間(2a，＋∞)上是增函數(shù)．綜上，當a1時，f(x)在區(qū)間(－∞，2)和(2a，＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(2,2a)上是減函數(shù)． (2)已知a0，函數(shù)f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，則a的取值范圍是________．【答案】 (0,3]【規(guī)范解答】 ∵f′(x)＝3x2－a，f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)遞增函數(shù)，∴f′(x)≥0，∴a≤3x2，∴a≤3.又a0，可知0a≤3.設f(x)＝，其中a為正實數(shù)．(1)當a＝時，求f(x)的極值點；(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．【規(guī)范解答】 對f(x)求導得f′(x)＝ex. ①(1)當a＝時，若f′(x)＝0，則4x2－8x＋3＝0，解得x1＝，x2＝.結(jié)合①，可知xf′(x)＋0－0＋f(x)極大值極小值所以x1＝是極小值點，x2＝是極大值點．(2)若f(x)為R上的單調(diào)函數(shù)，則f′(x)在R上不變號，結(jié)合①與條件a0，知ax2－2ax＋1≥0在R上恒成立，即Δ＝4a2－4a＝4a(a－1)≤0，由此并結(jié)合a0，知0a≤1.所以a的取值范圍為{a|0a≤1}．(x)＝xln x.(1)求函數(shù)f(x)的極值點；(2)設函數(shù)g(x)＝f(x)－a(x－1)，其中a∈R，求函數(shù)g(x)在區(qū)間[1，e]上的最小值．(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))．【規(guī)范解答】(1)f′(x)＝ln x＋1，x0，由f′(x)＝0得x＝，所以f(x)在區(qū)間(0，)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(，＋∞)上單調(diào)遞增．所以，x＝是函數(shù)f(x)的極小值點，極大值點不存在．(2)g(x)＝xln x－a(x－1)，則g′(x)＝ln x＋1－a，由g′(x)＝0，得x＝ea－1，所以，在區(qū)間(0，ea－1)上，g(x)為遞減函數(shù)，在區(qū)間(ea－1，＋∞)上，g(x)為遞增函數(shù)．當ea－1≤1，即a≤1時，在區(qū)間[1，e]上，g(x)為遞增函數(shù)，所以g(x)的最小值為g(1)＝0.當1ea－1e，即1a2時，g(x)的最小值為g(ea－1)＝a－
環(huán)評公示相關推薦
鄂ICP備17016276號-1