函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)(編輯修改稿)
2024-11-15 11:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 故 f(x)最大值 ＝ 1， f(x)最小值 ＝－ 2. [點(diǎn)評(píng) ] 利用求最值的步驟求解 ． 函數(shù)最大值及最小值點(diǎn)必在下面各種點(diǎn)之中：導(dǎo)數(shù)等于 0的點(diǎn) 、 導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)或區(qū)間的端點(diǎn) ． 函數(shù)在區(qū)間 [a， b]上連續(xù)是 f(x)在 [a， b]上存在最大值的充分而非必要條件 ． 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) 求函數(shù) f(x)＝ x4－ 8x2＋ 2在 [－ 1,3]上的最大值與最小值 ． [解析 ] f′(x)＝ 4x3－ 16x＝ 4x(x－ 2)(x＋ 2)． 令 f′(x)＝ 0， 解得 x1＝－ 2， x2＝ 0， x3＝ 2. 其中 x2＝ 0， x3＝ 2在 [－ 1,3]內(nèi) ， 計(jì)算得 f(0)＝ 2， f(2)＝－ 14， f(－ 1)＝－ 5， f(3)＝ 11， 故 f(x)在 [－ 1,3]上的最大值是 11， 最小值是－ 14. 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) [例 3] 已知 f(x)＝ ax3＋ bx2＋ cx(a≠0)在 x＝ 177。 1時(shí)取得極值 ， 且 f(1)＝－ 1， (1)試求常數(shù) a、 b、 c的值； (2)試判斷 x＝ 177。 1時(shí)函數(shù)取得極小值還是極大值 ， 并說(shuō)明理由 ． [解析 ] (1)由 f′(－ 1)＝ f′(1)＝ 0， 得 3a＋ 2b＋ c＝ 0,3a－2b＋ c＝ 0. 又 f(1)＝－ 1， ∴ a＋ b＋ c＝－ 1. ∴ a ＝12 ， b ＝ 0 ， c ＝－32 . 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) (2) f ( x ) ＝12x3－32x ， ∴ f ′ ( x ) ＝32x2－32＝32( x － 1) ( x ＋ 1) ． 當(dāng) x － 1 或 x 1 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ；當(dāng)－ 1 x 1 時(shí)， f ′ ( x ) 0 ， ∴ 函數(shù) f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 1) 和 (1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)，在 ( －1,1) 上為減函數(shù)． ∴ 當(dāng) x ＝－ 1 時(shí)，函數(shù)取得極大值 f ( － 1) ＝ 1 ；當(dāng) x ＝ 1 時(shí)，函數(shù)取得極小值 f (1) ＝－ 1. 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) [點(diǎn)評(píng) ] 若函數(shù) f(x)在 x0處取得極值，則一定有 f′(x0)＝ 0，因此我們可根據(jù)極值得到一個(gè)方程，來(lái)解決參數(shù)． 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) 設(shè) a 0 ， ( 1) 證明 f ( x ) ＝ax ＋ b1 ＋ x2 取得極大值和極小 值的點(diǎn)各有 1 個(gè) ； ( 2) 當(dāng)極大值為 1 ， 極小值為 － 1 時(shí) ， 求 a 和 b 的值 ． [ 解析 ] ( 1) 證明： f ′ ( x ) ＝a ( 1 ＋ x2) － 2 x ( ax ＋ b )( 1 ＋ x2)2 ＝－ ax2－ 2 bx ＋ a( 1 ＋ x2)2 ， 令 f ′ ( x ) ＝ 0 ，即 ax2＋ 2 bx － a ＝ 0. ① 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) ∵ Δ ＝ 4 b2＋ 4 a20 ， ∴ 方程 ① 有兩個(gè)不相等的實(shí)根，記為 x x2. 不妨設(shè) x1 x2，則有 f ′ ( x ) ＝－ ax2－ 2 bx ＋ a( 1 ＋ x2)2＝ 0 ， 即－ a ( x － x1)( x － x2) ＝ 0. f ′ ( x ) 、 f ( x ) 的變化情 況如下表： 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 人教 A 版數(shù)學(xué) 由上表可見， f ( x ) 取得極大值和極小值的點(diǎn)各有 1 個(gè) ． (2) 解：由 (1) 可知 f ( x1) ＝ax1＋ b1 ＋ x21＝－ 1 ， f ( x2) ＝ax2＋ b1 ＋ x22＝1 ? － x21－ 1 ＝ ax1＋ b 且 1 ＋ x22＝ ax2＋ b ，兩式相加，得 x22－x21＝ a ( x1＋ x2) ＋ 2 b . 又 x1＋ x2
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