[經濟學]d3_3單調性與極值最值(編輯修改稿)
2025-03-20 12:40 本頁面
【文章內容簡介】 x)(xf ?)(xf? 0520? ? ?0 ?)0,(?? ),0( 52 ),( 52 ??是極大值點， 其極大值為 是極小值點， 其極小值為 定理 3 (極值第二判別法 ) 二階導數 , 且 則 在點 取極大值 。 則 在點 取極小值 . ??證 : (1) )( 0xf ??00 )()(lim0 xxxfxfxx ?????? 0)(l i m0 xxxfxx ????,0)( 0 知由 ??? xf 存在 ,0?? ,0 0 時當 ???? xx時，故當 00 xxx ??? ?。0)( ?? xf時，當 ???? 00 xxx ,0)( ?? xf0x 0x ???0x ?? ?由第一判別法知 .)( 0 取極大值在 xxf(2) 類似可證 . 例 2. 求函數 的極值 . 2) 求導數 ,)1(6)( 22 ??? xxxf )15)(1(6)( 22 ????? xxxf3) 求駐點 令 ,0)( ?? xf 得駐點 1,0,1 321 ???? xxx4) 判別 因 ,06)0( ????f 故 為極小值 。 又 ,0)1()1( ??????? ff 故需用第一判別法判別 . 1 xy1? O解： 1）定義域為 ： ( , )? ? ? ?二、 最大值與最小值問題 則其最值只能 在 極值點 或 端點 處達到 . 求函數最值的方法 : (1) 求 在 內的極值可疑點 (2) 最大值 ? ? m a x?M ,)(af )(bf最小值 特別 : ?? 當 在 內只有 一個 極值可疑點時 , ? 當 在 上 單調 時 , 最值必在端點處達到 . 若在此點取極大 值 , 則也是最大 值 . (小 ) ? 對應用問題 , 有時可根據實際意義判別求出的可疑點 是否為最大 值點或最小值點 . (小 ) ???????)1292( 2 ?? xx1224)9( 2 ?????? 09681 ???01292 2 ???? xx )( xxf ?041 ??? x250 ?? x041 ??? x250 ?? x例 3. 求函數 在閉區(qū)間 上的最大值和最小值 . 解 : 顯然 且 ,)1292( 23 xxx ???,1292 23 xxx ??????? )( xf 12186 2 ?? xx12186 2 ?? xx2,1,0 321 ??? xxx故函數在 0?x 取最小值 0 。 在 1?x 及 25 取最大值 5. ,)2)(1(6 ??? xx,)2)(1(6 ???? xx41? 251 2 xyO 例 4 某工廠生產產量為 x (件 )時 , 生產成本函數 (元 )為 2( ) 90 00 40 0. 00 1C x x x? ? ? 解求該廠生產多少件產品時 , 平均成本達到最小 ? 并求出其最小平均成本和相應的邊際成本 . ( ) 9 0 0 0 C ( ) 4 0 0 .0 0 1Cxxxxx? ? ? ?三、函數最值在經濟中的應用 29000C ( ) 0 .0 0 1xx? ? ? ? ， 318000C ( ) 0xx?? ?? C ( ) 0 3 0 0 0 .xx? ??令 得 （ 唯 一 ）C ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( / )? 元 件 ， ( ) 4 0 0 . 0 0 2C x x? ?? ( 3 0 0 0 ) 4 6 ( / ) .C ? ?故 元 件3000x ?故 是 使平均成本最低時的產量 故此時， 邊際成本等于平均成本！ () C ( ) Cxxx?2
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