第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性與極值(編輯修改稿)
2024-11-22 11:46 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 例 5 解 .593)( 23 的極值求出函數(shù) ???? xxxxf963)( 2 ???? xxxf，令 0)( ?? xf .3,1 21 ??? xx得駐點(diǎn) 列表討論 x )1,( ??? ),3( ??)3,1(?1? 3)(xf?)(xf? ? ??0 0? ?極大值 極小值 )3(f極小值 .22??)1( ?f極大值 ,10?)3)(1(3 ??? xx593)( 23 ???? xxxxfMm圖形如下 設(shè) )( xf 在0x 處具有二階導(dǎo)數(shù) ,且 0)(039。?xf , 0)(039。39。?xf , 那末(1) 當(dāng) 0)( 039。39。?xf 時(shí) , 函數(shù) )( xf 在0x 處取得極大值 。(2) 當(dāng) 0)( 039。39。?xf 時(shí) , 函數(shù) )( xf 在0x 處取得極小值 .定理 3(第二充分條件 ) 證 )1( x xfxxfxfx ???????????)()(lim)( 0000? ,0?異號(hào)，與故 xxfxxf ?????? )()( 00時(shí)，當(dāng) 0?? x )()( 00 xfxxf ?????有 ,?時(shí)，當(dāng) 0?? x )()( 00 xfxxf ?????有 ,?所以 ， 函數(shù) )( xf 在 0x 處取得極大值 ． 同理可證 (2). 例 6 解 .20243)( 23 的極值求出函數(shù) ???? xxxxf2463)( 2 ???? xxxf，令 0)( ?? xf .2,4 21 ??? xx得駐點(diǎn))2)(4(3 ??? xx,66)( ???? xxf????? )4(f? ,018 ?? )4( ?f故極大值 ,60???? )2(f ,018 ? )2(f故極小值 .48??20243)( 23 ???? xxxxf 圖形如下 Mm注意 : .2,)(,0)( 00仍用定理處不一定取極值在點(diǎn)時(shí) xxfxf ???例 7 解 .)2(1)( 32的極值求出函數(shù) ??? xxf)2()2(32)( 31????? ? xxxf.)(,2 不存在時(shí)當(dāng) xfx ??時(shí)，當(dāng) 2?x 。0)( ?? xf時(shí)，當(dāng) 2?x .0)( ?? xf.)(1)2( 的極大值為 xff ??.)( 在該點(diǎn)連續(xù)但函數(shù) xf注意 :函數(shù)的不可導(dǎo)點(diǎn) ,也可能是函數(shù)的極值點(diǎn) . M當(dāng) 0?x 時(shí)，當(dāng) 0?x 時(shí)，,0)1s i n2(2 ?? xx x1cos 在 –1和 1之間振蕩 因而 )( xf 在 0?x 的兩側(cè)都不單調(diào) .故命題不成立． xxxxf1c o s)1s i n2(2)( ????小結(jié) 單調(diào)性的判別是拉格朗日中值定理的重要應(yīng)用 . 定理中的區(qū)間換成其它有限或無限區(qū)間，結(jié)論仍然成立 . 應(yīng)用：利用函數(shù)的單調(diào)性可以確定某些方程實(shí)根的個(gè)數(shù)和證明不等式 . 極值是函數(shù)的局部性概念 :極大值可能小于極小值 ,極小值可能大于極大值 . 駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為 臨界點(diǎn) . 函數(shù)的極值必在 臨界點(diǎn) 取得 . 判別法 第一充分條件 。
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