函數(shù)的極值及其應(yīng)用(已修改)
2025-06-30 23:38 本頁面
【正文】 函數(shù)的極值及其應(yīng)用作 者：xxxxx指導(dǎo)老師：xx摘要：論述了函數(shù)的極值問題，討論了求函數(shù)極值的必要條件和充分條件，通過例題分析了求函數(shù)的極值問題的具體步驟，并用實例展現(xiàn)了函數(shù)的極值在解決實際問題中的重要作用．關(guān)鍵詞：函數(shù)的極值。函數(shù)極值的必要條件。函數(shù)極值的充分條件 在日常生活、工程實踐和生產(chǎn)技術(shù)中，常會碰到這樣的問題：在一定的條件下，怎樣才能用料最少而所生產(chǎn)的產(chǎn)品最多，或者成本最低等．企業(yè)生產(chǎn)成本是影響企業(yè)利潤的一個重要因素，因此企業(yè)經(jīng)營者為了獲得較高的利潤，必須在企業(yè)經(jīng)營中考慮如何最大限度地降低生產(chǎn)成本．通常這類問題最后都?xì)w結(jié)為一個數(shù)學(xué)問題，有些通過初等方法就能得到解決．例如，初等數(shù)學(xué)中的求極值的方法在這類問題的解決中就有著極其廣泛的應(yīng)用．這些都是數(shù)學(xué)中的極值問題．同樣，高等數(shù)學(xué)函數(shù)問題中，函數(shù)極值的求法與應(yīng)用也是一個值得深思的問題．那么從哪些方面對高等數(shù)學(xué)中函數(shù)的極值問題進(jìn)行研究呢？1 一元函數(shù)的極值問題及其應(yīng)用 一元函數(shù)極值的定義 設(shè)函數(shù)在的一個鄰域內(nèi)有定義，若對于該鄰域內(nèi)異于的恒有：，則稱為函數(shù)的極大值，稱為函數(shù)的極大值點．，則稱為函數(shù)的極小值，稱為極小值點．函數(shù)的極大值、極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值．極大值點、極小值點統(tǒng)稱為函數(shù)的極值點． 函數(shù)極值存在的條件 函數(shù)極值存在的必要條件 設(shè)函數(shù)在點處可導(dǎo)，且在處取得極值，那么． 由費(fèi)馬定理知：只是可導(dǎo)函數(shù)存在極值的必要條件．但不是充分條件，原因在于，如果，并不一定是極值點．例如，對于函數(shù)來說，但是由于當(dāng)時有，當(dāng)時，而，所以不是它的極值點．使導(dǎo)數(shù)等于零的點（即方程的實根）叫做函數(shù)的駐點．據(jù)此可知，導(dǎo)函數(shù)的極值點必定是它的駐點，而函數(shù)的駐點卻不一定是極值點．此外，函數(shù)在它的導(dǎo)數(shù)不存在的點處也可能取得極值．例如，函數(shù)在點處不可導(dǎo)，但函數(shù)在該點取得極小值．應(yīng)該注意的是：極值反映函數(shù)的局部性態(tài)，是一個局部概念．極大值不一定大于極小值，極大（?。┲挡灰欢ㄊ菂^(qū)間上的最大（?。┲?，但就極值點附近的范圍來說極大（?。┲稻褪亲畲螅ㄐ。┲?；區(qū)間上的極值點可能有若干個．怎樣判定函數(shù)在駐點或不可導(dǎo)點處究竟是否取得極值？如果是，究竟取得極大值還是極小值？下面給出兩個判定極值的充分條件．函數(shù)極值的第一充分條件 設(shè)函數(shù)在的一個鄰域內(nèi)可導(dǎo)，或者在點處不可導(dǎo)但必須連續(xù)．若當(dāng)在該鄰域內(nèi)由小于連續(xù)地變?yōu)榇笥跁r，其導(dǎo)數(shù)改變符號，則為函數(shù)的極值，為函數(shù)
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