【正文】 第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用上冊研究了一元函數(shù)微分法，利用這些知識，我們可以求直線上質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的速度和加速度，也可以求曲線的切線的斜率，可以判斷函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值等，但這遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，因?yàn)橐辉瘮?shù)只是研究了由一個因素確定的事物。一般地說，研究自然現(xiàn)象總離不開時間和空間，確定空間的點(diǎn)需要三個坐標(biāo)，所以一般的物理量常常依賴于四個變量，在有些問題中還需要考慮更多的變量，這樣就有必要研究多元函數(shù)的微分學(xué)。多元函數(shù)微分學(xué)是一元函數(shù)的微分學(xué)的推廣，所以多元函數(shù)微分學(xué)與一元函數(shù)微分學(xué)有許多相似的地方，但也有許多不同的地方，學(xué)生在學(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時，應(yīng)特別注意它們的不同之處。一、教學(xué)目標(biāo)與基本要求(1) 理解多元函數(shù)的概念。(2) 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。(3) 理解偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，了解全微分存在的必要條件和充分條件，以及全微分在近似計算中的應(yīng)用。(4) 理解方向?qū)?shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法。(5) 掌握復(fù)合函數(shù)一階、二階偏導(dǎo)數(shù)的求法。(6) 會求隱函數(shù)（包括由方程組確定的隱函數(shù)）的偏導(dǎo)數(shù)。(7) 了解曲線的切線與法平面及曲面的切平面與法線，并掌握它們的方程的求法。(8) 理解多元函數(shù)極值的概念，會求函數(shù)的極值。了解條件極值的概念，會用拉格朗日乘數(shù)法求條件極值，會求解一些較簡單的最大值和最小值的應(yīng)用問題。二、教學(xué)內(nèi)容及學(xué)時分配：第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念 2課時 第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù) 1學(xué)時第三節(jié) 全微分 1學(xué)時第四節(jié) 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 2學(xué)時習(xí)題課 2學(xué)時第五節(jié) 隱函數(shù)的求導(dǎo)公式 2學(xué)時第六節(jié) 多元函數(shù)微分學(xué)的幾何應(yīng)用 2學(xué)時第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度 2學(xué)時第八節(jié) 多元函數(shù)的極值及其求法 2學(xué)時 習(xí)題課 2學(xué)時三、教學(xué)內(nèi)容的重點(diǎn)及難點(diǎn)：重點(diǎn)：1． 多元函數(shù)的極限與連續(xù)；2． 偏導(dǎo)數(shù)的定義；全微分的定義3． 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；隱函數(shù)的求導(dǎo)法則4． 方向?qū)?shù)與梯度的定義5． 多元函數(shù)的極值與最值的求法難點(diǎn)：1． 多元函數(shù)微分學(xué)的幾個概念，即多元函數(shù)極限的存在性、多元函數(shù)的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù)的存在性、全微分的存在性、偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性之間的關(guān)系；2． 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則中，抽象函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)；3． 由方程組確定的隱函數(shù)的求導(dǎo)法則；4． 梯度的模及方向的意義；5． 條件極值的求法四、教學(xué)內(nèi)容的深化和拓寬：1． 多元函數(shù)微分學(xué)的幾個概念的深刻背景；2． 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則的應(yīng)用；3． 由一個方程確定的隱函數(shù)，推廣到由方程組確定的隱函數(shù)4． 利用多元函數(shù)微分學(xué)的知識研究空間曲線和曲面的性質(zhì)；5． 將偏導(dǎo)數(shù)的概念推廣到方向?qū)?shù)，并由此得到梯地的概念6． 利用多元函數(shù)微分學(xué)的知識研究無條件極值與條件極值。第一節(jié) 多元函數(shù)的基本概念一、內(nèi)容要點(diǎn)1． 平面點(diǎn)集 維空間2． 多元函數(shù)的概念3． 多元函數(shù)的極限4． 多元函數(shù)的連續(xù)性二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)教學(xué)要求： 1．理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。 2．了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)性的概念，以及有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。教學(xué)注意點(diǎn)：多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)極限的定義表面上看起來非常相似，但也有不同的地方，要特別提醒學(xué)生注意，一元函數(shù)的方向極限只有兩個，即左極限和右極限，但多元函數(shù)的方向極限有無限多個，動點(diǎn)可以沿著直線的方向趨于定點(diǎn)，也可以沿著曲線的方向趨于定點(diǎn)，這意味著多元函數(shù)的極限較一元函數(shù)的極限復(fù)雜得多。三、教學(xué)設(shè)計與安排 時間分配：（1） 平面點(diǎn)集和n維空間（30分鐘）；（2） 多元函數(shù)的定義（10分鐘）；（3） 多元函數(shù)的極限（40分鐘）；（4） 多元函數(shù)的連續(xù)性（20分鐘）；說明1：把一元函數(shù)的概念推廣到多元函數(shù)之前必須把多維空間的領(lǐng)域概念解釋清楚，因?yàn)槎嘣瘮?shù)許多與一元函數(shù)不同的特殊性質(zhì)是由多維空間中的領(lǐng)域性質(zhì)決定的。往往學(xué)生自以為已經(jīng)掌握了多元函數(shù)的概念，遇到實(shí)際問題還是理解不了。說明2：多元函數(shù)的極限是比較難理解的概念，要分清二重極限與二次極限的區(qū)別與兩者的關(guān)系。說明3：在多元函數(shù)的范圍內(nèi)仍有基本初等函數(shù)和初等函數(shù)的概念。四、作業(yè) 同步訓(xùn)練習(xí)題一、 平面區(qū)域首先我們來了解一下在平面區(qū)域內(nèi)平面點(diǎn)集的知識： 鄰域：給定平面內(nèi)P0（x0，y0）點(diǎn)，和某數(shù)0，以P0點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，該圓內(nèi)所有點(diǎn)的全體，即，稱為P0點(diǎn)的鄰域，記做：，簡記； 內(nèi)點(diǎn)：在平面點(diǎn)集，存在P0的一個鄰域，使得，則稱P0為的內(nèi)點(diǎn)； 開集：平面點(diǎn)集內(nèi)的所有點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱點(diǎn)集為開集； 邊界點(diǎn)：在平面上，存在某個點(diǎn)P，在P的任何鄰域內(nèi)，都含有點(diǎn)集的點(diǎn)，又含有不是點(diǎn)集的點(diǎn)，則稱點(diǎn)P為點(diǎn)集的邊界點(diǎn)?！咀ⅰ浚狐c(diǎn)P可以在點(diǎn)集內(nèi)，也可以不在。點(diǎn)集中孤立在外的點(diǎn)，稱為孤立點(diǎn)，規(guī)定，孤立點(diǎn)為邊界點(diǎn)。所有邊界點(diǎn)組成的集合稱為邊界。 連通：如果點(diǎn)集內(nèi)的任意兩點(diǎn)都能用全屬于的折線連接起來，則稱為連通的。 區(qū)域：連通的開集稱為開區(qū)域，簡稱區(qū)域。稱區(qū)域連同他的邊界為閉區(qū)域。 有界無界區(qū)域：對于平面點(diǎn)集，如果存在一個以原點(diǎn)為圓心的圓盤D，使，則稱為有界區(qū)域，否則稱為無界區(qū)域。 聚點(diǎn)：P點(diǎn)的任何一個鄰域內(nèi)都有無限個屬于點(diǎn)集的點(diǎn)，稱P為點(diǎn)集的聚點(diǎn)。 【注】：平面點(diǎn)集中點(diǎn)的關(guān)系如圖,其中： 二、 二元函數(shù)的極限和連續(xù)性 二元函數(shù)定義1：設(shè)有變量x，y和z，如果當(dāng)變量x，y在某一固定的范圍內(nèi)，任意取一對值時，變量z按照一定的法則f總有唯一的確定的值與之對應(yīng)，就稱z為x，y的二元函數(shù)，記作：，其中x，y稱為自變量，z稱為因變量。自變量x，y的取值范圍稱為二元函數(shù)的定義域，一般用大寫字母D來表示?！咀ⅰ颗c定義1相似，我們可以直接定義n元函數(shù)（n≥1）； 定義1中，當(dāng)x，y的值取定后，z的取值就根據(jù)f的方程來定。通常情況下，這個值是唯一的，這時我們稱為單值函數(shù)，但有時侯取值不是唯一的，這時我們稱為多值函數(shù)。如：。一般情況，我們討論的函數(shù)都是單值函數(shù)，如果是多值函數(shù)我們會特別說明或者用多個單值函數(shù)來處理。二元函數(shù)的定義域有兩種。其一：我們規(guī)定的定義域，即中，x，y的取值范圍。如：，其中的定義域就是。其二：我們給定的函數(shù)，使得z有確定取值的（x，y）的取值范圍。如：，其定義域?yàn)椋篋={(x，y)| }。 二元函數(shù)的圖形由上一章的內(nèi)容可知是一張曲面。 兩二元函數(shù)相等，即定義域相等且起對應(yīng)法則也必須相等?！纠壳蟮亩x域。 解：顯然要使得上式有意義。必須滿足。 二重極限 定義2：設(shè)P0(x0，y0)為函數(shù)定義域D的聚點(diǎn)，如果當(dāng)定義域內(nèi)任意一點(diǎn)P（P0除外），以任何方式趨近P0時，即：，都有，則稱在的P0二重極限為A。 語言表示：，當(dāng)時，恒有：，記：。三、求極限的方法一元函數(shù)求極限的方法及運(yùn)算法則（）對多元函數(shù)依舊成