[理學(xué)]8-3多元函數(shù)的全微分(已修改)
2025-01-31 14:35 本頁面
【正文】 二、可微的條件 一、全微分的概念 多元函數(shù)的全微分 第三節(jié) 第八章 函數(shù)的微分 一元函數(shù) y = f (x)的增量： )()( xfxxfy ?????xxfy ??? )(d（當(dāng)一元函數(shù) y = f (x)可導(dǎo)時） 二元函數(shù) z = f (x,y)： ),(),( yxfyxxfzx ?????（當(dāng)二元函數(shù) z = f (x, y) 對 x的偏導(dǎo)數(shù)存在時） )(),( xοxyxf x ????對 x的偏增量 對 x的偏微分 )( xoxA ????一、全微分的概念 1. 問題的提出 ),(),( yxfyyxfzy ????? 對 y的偏增量 對 y的偏微分 )(),( yοyyxf y ????（當(dāng)二元函數(shù) z = f (x, y) 對 y的偏導(dǎo)數(shù)存在時） ),(),( yxfyyxxfz ???????在點 (x,y)的全增量 問題 yx ?? 、 的線性函數(shù)來 近似代替函數(shù)的全增量？ 可否用自變量的增量 如果函數(shù) z = f ( x, y )在點 ( x , y )處的 可表示成 ,)( ρoyBxAz ??????其中 A , B 不依賴于 ? x , ? y , 僅與 x , y 有關(guān)， 稱為函數(shù) ),( yxf 在點 (x, y) 的 全微分 , 記作 yBxAfz ????? dd則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點 ( x, y) 可微 ， 全增量 2. 全微分的定義 定義 1176。 若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點都可微 , 則稱此函數(shù) 2176。 由定義可知 , f ( x, y ) 在點 ( x0, y0) 可微的 充要條件 是 : 在 D 內(nèi)可微 . 注 ??)(lim0yBxAz ??????.0)(),(),(lim 00000???????????? ρyBxAyxfyyxxfρ定理 (多元函數(shù)可微的 必要條件 ) 若函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微 ,則 (2) 函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 的兩個偏導(dǎo)數(shù) .d),(d),(d yyxfxyxfz yx ??存在 ,且有 (1) 函數(shù) z = f (x, y) 在點 (x, y) 連續(xù) 。 從而 二、可微的條件 若 z = f (x, y) 在點 (x, y) 可微 , 則 證 1. 可微與連續(xù)、可偏導(dǎo)的關(guān)系 ,0?? y令)( xoxA ????得到對 x 的偏增量 xx ?? x(2) 由可微定義，有 ),(lim)0,0(),(yyxxfyx???????zyx???? )0,0(),(lim 0?),( yxf?? ?)()(lim 0 ρoyBxAρ ????? ?從而 .),(),( 處連續(xù)在點即 yxy
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