【正文】 第 18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 167。 1 隱函數(shù) 一、 隱函數(shù)概念 .).si nsi n(si n,1,22顯函數(shù)這種形式的函數(shù)稱為如式是自變量的某個(gè)算式若函數(shù)的因變量的表達(dá)zxyzxyeuyxz xyz ?????? .J ,I)1( ( 1 ) ,x ,Jy,Ix ,YJXI)1( ,0)y,x(F .RYX:F,RY,RX隱函數(shù)的值域含于上確定一個(gè)定義在則稱由方程滿足方程一起它與唯一的使得與若存在集合對(duì)于方程函數(shù)一個(gè)方程確定。設(shè)的對(duì)應(yīng)關(guān)系由數(shù)，其自變量與因變量不少情況下有另一種函??????????? .,0))(,(,),(IxxfxFJyIxxfy?????則成立恒等式若把它記作下面看隱函數(shù)的例子 . ).,1()1,(0),(.,),(1111 ??????????????????? xxFyyxyxyyxFxx , 1 從而即一個(gè)通過(guò)方程對(duì)應(yīng)唯一二元方程例.011 1的單值交線與平面是空間曲面平面曲線幾何意義 ????? ? zyxyzy x :.0)1,(),(0)1,(),(,11,)1,1(,00.)1,1(.01),(2221222122??????????????????????????????xxFyxFxxFyxFxyxyyxyyyxyxyxF 2 或也就是或即對(duì)唯一一個(gè)則或若限定兩個(gè)通過(guò)方程對(duì)應(yīng)二元方程例? ? .0)(,),(),(),(),(022),(??????????xxFxyyxxyyxF yx?????? 3 即即后面證明通過(guò)方程對(duì)應(yīng)唯一一個(gè)內(nèi)，在原點(diǎn)某鄰域二元方程例).(),(022xyxzxyz yx??????????相交成平面單值曲線時(shí)在與平面空間曲面幾何意義 :., 的取值范圍后才有意義它的方程以及隱函數(shù)必須在指出確定 yx.0s i n21,022 ?????? yxycyx 又如方程..)(.)(微性但要研究其連續(xù)性和可函數(shù)隱函數(shù)一般不能化成顯確定隱函數(shù)要研究什么條件下才能 ii i 二、隱函數(shù)存在性條件的分析 .0),()1( 的交集與的點(diǎn)集可看作滿足方程 ?? zyxFz0. ),( ),( ??00000.,)1(.1yxFyxP 使得則交集非空能確定隱函數(shù)若方程.0),(0),(((,.200000相交成平面曲線與在點(diǎn)從而相交于直線的切平面與在點(diǎn)則且可微在點(diǎn)若?????zPyxFzlzPyxFzPFPFPFyx . ( 0 , 0 ) ,))),( .((,0((,)(000000))dd dd)) PFPFxyxyPFPFxfyyxxxxxyx ???????則由鏈?zhǔn)椒▌t可微若要求三、隱函數(shù)定理 .0),()。,(。:00002000???yxFyxFDyxFRDyxPFyy ( i v ) ( i i i ))。0(),( ( i i )),( ( i ) 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)在初始條件上連續(xù)為內(nèi)點(diǎn)的某一區(qū)域在以函數(shù)若滿足下列條件隱函數(shù)存在唯一性定理 )( 定理.),)(。0))(,()())(,(),)(),()(),0),()(00000000000內(nèi)連續(xù)在）且時(shí)當(dāng)）使得函數(shù)隱內(nèi)的定義在某區(qū)間唯一地確定內(nèi)，方程的某鄰域則在點(diǎn)???????????????????xxxfxfxFPUxfxxxxyxfxfyxxyxFDPUP( 2 , ( 1(.],[),(],[.0),(,],[],[,.0),(,.0000000000且連續(xù)上嚴(yán)格增在關(guān)于故使其上每點(diǎn)局部保號(hào)由不妨由）存在唯一性證：???????????????????????yyyyxFxxxyxFDyyxxFyxFyyy ( i i i ) , ( i v ) 1 A???????B A’ +++++++B’ P0 .0),(,0),(,),((,],[),(),(.0),(,0),(000000000000?????????????????????????????yxFyxFxxxxxyxFyxFyxFyxF ],0, ( i ) , ( i i ) ,時(shí)使當(dāng)性由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)上連續(xù)在和由由).()(),(0),(.0),(),( ),(,0,0000000xfyxxyxFyxFyyyxxxFBAFABABAB???????????????????函數(shù)隱內(nèi)的間唯一地確定了定義在區(qū)即方程使唯一因此上邊上的如圖，在矩形??????A???????B A’ +++++++B’ P0 .0))(,()())(,( ,),( ,)(),(),()(0000000000????????????xfxFPUxfxxxxyxfyyxxPU且時(shí)當(dāng)則令??????).(),)( 00 略內(nèi)連續(xù)在） ?? ?? xxxf ( 2? ? .0)(,),(0,022),(???????xxFxyxxyyxF yx?? 滿足內(nèi)確定唯一一個(gè)隱函數(shù)的某鄰域在驗(yàn)證二元方程：練習(xí)? ? .0)(,),(0???xxFxyx?? 滿足確定唯一一個(gè)隱函數(shù)的某鄰域內(nèi)定理的條件，所以，在滿足隱函數(shù)存在唯一性 .02ln)0,0()0,0(2ln2),()0,0()0,0(22),(?????????yyyyxFxyxFFxyyxF）的鄰域內(nèi)連續(xù)，在），）的鄰域內(nèi)連續(xù)，在）因?yàn)?，解? 3 02 1 ( i v ) . ( i i i ) ,i) , 1 8 . 1 但不滿足處滿足在點(diǎn)例如的條件僅僅是充分條件定理：()0,0(,)()()(,.12222233yxyxx , yFxyx , yF??????注意 . ( i v) ,iii)18. 1 嚴(yán)格單調(diào)的某鄰域內(nèi)關(guān)于在可減弱為和的條件定理 yPF 0(.2).(,0),(,),((.3 00ygxyxFyxF xx??函數(shù)結(jié)論是存在唯一的連續(xù)連續(xù)改為和的條件定理 ( i v )i i i )18 . 1 .),(),()( ),()()1( ),(( i v ) ,( i )1 8 . 1),( )(00yxFyxFxfxxxfyyxFDyxFyxx??????導(dǎo)函數(shù)，且內(nèi)有連續(xù)在其定義域所確定的隱函數(shù)則由方程內(nèi)存在連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)又設(shè)在條件的滿足定理設(shè)函數(shù)隱函數(shù)可微性定理?? 1 定理.0),())(,( ),()(),( ),(, 0000????????????????????yyxxFxfxFyyxxfyyxfyxxxxx且則設(shè)證：????,y)yy,xx(Fx)yy,xx(F)y,x(F)yy,xx(Fyx ?????????????????????? 0 故,),( ),( yyxxF yyxxFxyyx???????????????? .),),( ),(lim)( 000內(nèi)連續(xù)且在 ?? ??????????xxyxF yxFxyxfyxx( 例 1. 驗(yàn)證方程 在點(diǎn) (0,0)某鄰域 可 確定一個(gè) 單值可導(dǎo)隱函數(shù) 0dd,0dd22?? xxyxxy解 : 令 ,1s in),( ???? yxeyyxF x則 并求 ,F,0)0,0( ?F,yeF xx ?? 連續(xù) , 由 定理可知 , 1)0,0( ?yF 0?導(dǎo)的隱函數(shù) xyF y ?? c o s在 x = 0 的某鄰域內(nèi)方程存在單值可 且 0dd?xxy0??? xFFyx ?? xy ?c o sye x ?0,0 ?? yx0dd22?xxy)c o s(dd xy yexx????2)c o s( xy ???3?? 100?????yyx)( ye x ?? )( c o s xy ? )( ye x ? )1s in( ???? yy0?? xy30dd22???xxy)(,01s in xyyyxey x ?????兩邊對(duì) x 求導(dǎo) 兩邊再對(duì) x 求導(dǎo) yyyy ??????? c o s)(s in 2令 x = 0 , 注意此時(shí) 1,0 ???? yy)0,0(c o s xyye x????導(dǎo)數(shù)的另一求法 — 利用隱函數(shù)求導(dǎo) ).(),(0,022),(xxyxxyyxF yx?? ???????并求連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)鄰域內(nèi)確定唯一一個(gè)有的某在驗(yàn)證二元方程： 練習(xí).2ln2 2ln2)( yxxyx??????答：.注：導(dǎo)數(shù)有兩種求法連續(xù)可微性定理元隱函數(shù)的存在唯一與并有下列元隱函數(shù)的概念所確定的類似地理解由方程nnyxxF n .0),( 1 ??., , )(),( 2),( ,)),(,( ),()),(,( ,)(),( 1),(),()(),(),()(yxxyxxxxnnnnnnnnnnnFFfFFfffQUxxfyxxfyxxfxxFPUxxfxxQUxxxxfynRQUxxQyxxFDPUPnnn?????????????????????????111010010110110110001010000而且內(nèi)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在）且時(shí)）當(dāng)使得隱函數(shù)元連續(xù)函數(shù)內(nèi)的的某鄰域一個(gè)定義在唯一地確定了內(nèi)，方程的某鄰域則在點(diǎn),),( ( i v ), ( i i i ),),( ( i i ),),(),( ( i ) : 000001000110001011????yxxFDFFFyxxFRDyxxPyxxFnyyxxnnnnn?????內(nèi)存在且連續(xù)在偏導(dǎo)數(shù)上連續(xù)為內(nèi)點(diǎn)的區(qū)域在以若滿足下列條件 1 8 . 3 定理例 2. 設(shè) ,04222 ???? zzyx解法 1 利用