【正文】 xPU且時當則令??????).(),)( 00 略內連續(xù)在） ?? ?? xxxf ( 2? ? .0)(,),(0,022),(???????xxFxyxxyyxF yx?? 滿足內確定唯一一個隱函數(shù)的某鄰域在驗證二元方程：練習? ? .0)(,),(0???xxFxyx?? 滿足確定唯一一個隱函數(shù)的某鄰域內定理的條件，所以，在滿足隱函數(shù)存在唯一性 .02ln)0,0()0,0(2ln2),()0,0()0,0(22),(?????????yyyyxFxyxFFxyyxF）的鄰域內連續(xù)，在），）的鄰域內連續(xù)，在）因為，解：4 3 02 1 ( i v ) . ( i i i ) ,i) , 1 8 . 1 但不滿足處滿足在點例如的條件僅僅是充分條件定理：()0,0(,)()()(,.12222233yxyxx , yFxyx , yF??????注意 . ( i v) ,iii)18. 1 嚴格單調的某鄰域內關于在可減弱為和的條件定理 yPF 0(.2).(,0),(,),((.3 00ygxyxFyxF xx??函數(shù)結論是存在唯一的連續(xù)連續(xù)改為和的條件定理 ( i v )i i i )18 . 1 .),(),()( ),()()1( ),(( i v ) ,( i )1 8 . 1),( )(00yxFyxFxfxxxfyyxFDyxFyxx??????導函數(shù)，且內有連續(xù)在其定義域所確定的隱函數(shù)則由方程內存在連續(xù)偏導數(shù)又設在條件的滿足定理設函數(shù)隱函數(shù)可微性定理?? 1 定理.0),())(,( ),()(),( ),(, 0000????????????????????yyxxFxfxFyyxxfyyxfyxxxxx且則設證：????,y)yy,xx(Fx)yy,xx(F)y,x(F)yy,xx(Fyx ?????????????????????? 0 故,),( ),( yyxxF yyxxFxyyx???????????????? .),),( ),(lim)( 000內連續(xù)且在 ?? ??????????xxyxF yxFxyxfyxx( 例 1. 驗證方程 在點 (0,0)某鄰域 可 確定一個 單值可導隱函數(shù) 0dd,0dd22?? xxyxxy解 : 令 ,1s in),( ???? yxeyyxF x則 并求 ,F,0)0,0( ?F,yeF xx ?? 連續(xù) , 由 定理可知 , 1)0,0( ?yF 0?導的隱函數(shù) xyF y ?? c o s在 x = 0 的某鄰域內方程存在單值可 且 0dd?xxy0??? xFFyx ?? xy ?c o sye x ?0,0 ?? yx0dd22?xxy)c o s(dd xy yexx????2)c o s( xy ???3?? 100?????yyx)( ye x ?? )( c o s xy ? )( ye x ? )1s in( ???? yy0?? xy30dd22???xxy)(,01s in xyyyxey x ?????兩邊對 x 求導 兩邊再對 x 求導 yyyy ??????? c o s)(s in 2令 x = 0 , 注意此時 1,0 ???? yy)0,0(c o s xyye x????導數(shù)的另一求法 — 利用隱函數(shù)求導 ).(),(0,022),(xxyxxyyxF yx?? ???????并求連續(xù)導數(shù)的隱函數(shù)鄰域內確定唯一一個有的某在驗證二元方程： 練習.2ln2 2ln2)( yxxyx??????答：.注：導數(shù)有兩種求法連續(xù)可微性定理元隱函數(shù)的存在唯一與并有下列元隱函數(shù)的概念所確定的類似地理解由方程nnyxxF n .0),( 1 ??., , )(),( 2),( ,)),(,( ),()),(,( ,)(),( 1),(),()(),(),()(yxxyxxxxnnnnnnnnnnnFFfFFfffQUxxfyxxfyxxfxxFPUxxfxxQUxxxxfynRQUxxQyxxFDPUPnnn?????????????????????????111010010110110110001010000而且內有連續(xù)偏導數(shù)在）且時）當使得隱函數(shù)元連續(xù)函數(shù)內的的某鄰域一個定義在唯一地確定了內，方程的某鄰域則在點,),( ( i v ), ( i i i ),),( ( i i ),),(),( ( i ) : 000001000110001011????yxxFDFFFyxxFRDyxxPyxxFnyyxxnnnnn?????內存在且連續(xù)在偏導數(shù)上連續(xù)為內點的區(qū)域在以若滿足下列條件 1 8 . 3 定理例 2. 設 ,04222 ???? zzyx解法 1 利用隱函數(shù)求導 0422 ??????? xzxzzx zxxz ???? 2?2 04 22????xz2)(1xz???.22xz??求再對 x 求導 解法 2 利用公式 設 zzyxzyxF 4),( 222 ????則 ,2 xF x ?zxFFxz ?????兩邊對 x 求偏導 )2(22zxxxz??????322)2()2(zxz????2??? zxzx?? 242 ?? zF z.求法注：隱函數(shù)高階導數(shù)的作業(yè) ： P151, 1,2 , 3(2)(5), 5. 四、隱函數(shù)問題舉例 (自練 ) .0s i n21),( 確定的隱函數(shù)及其導數(shù)討論 ???? yxyyxF 例1.0333和二階導數(shù)所確定的隱函數(shù)的一階討論笛卡兒葉形線??? axyyx 例2.0),( 323元隱函數(shù)及其偏導數(shù)在原點附近所確定的二討論????? zyxxyzzyxF 例3.,)(,)( 000其導數(shù)討論反函數(shù)的存在性與且的某鄰域內連續(xù)在設函數(shù) yxfxxfy ?? 例4167。:00002000???yxFyxFDyxFRDyxPFyy ( i v ) ( i i i ))。設的對應關系由數(shù)，其自變量與因變量不少情況下有另一種函??????????? .,0))(,(,),(IxxfxFJyIxxfy?????則成立恒等式若把它記作下面看隱函數(shù)的例子 . ).,1()1,(0),(.,),(1111 ??????????????????? xxFyyxyxyyxFxx , 1 從而即一個通過方程對應唯一二元方程例.011 1的單值交線與平面是空間曲面平面曲線幾何意義 ????? ? zyxyzy x :.0)1,(),(0)1,(),(,11,)1,1(,00.)1,1(.01),(2221222122??????????????????????????????xxFyxFxxFyxFxyxyyxyyyxyxyxF 2 或也就是或即對唯一一個則或若限定兩個通過方程對應二元方程例? ? .0)(,),(),(),(),(022),(??????????xxFxyyxxyyxF yx?????? 3 即即后面證明通過方程對應唯一一個內，在原點某鄰域二元方程例).(),(022xyxzxyz yx??????????相交成平面單值曲線時在與平面空間曲面幾何意義 :., 的取值范圍后才有意義它的方程以及隱函數(shù)必須在指出確定 yx.0s i n21,022 ?????? yxycyx 又如方程..)(.)(微性但要研究其連續(xù)性和可函數(shù)隱函數(shù)一般不能化成顯確定隱函數(shù)要研究什么條件下才能 ii i 二、隱函數(shù)存在性條件的分析 .0),()1( 的交集與的點集可看作滿足方程 ?? zyxFz0. ),( ),( ??00000.,)1(.1yxFyxP 使得則交集非空能確定隱函數(shù)若方程.0),(0),(((,.200000相交成平面曲線與在點從而相交于直線的切平面與在點則且可微在點若?????zPyxFzlzPyxFzPFPFPFyx . ( 0 , 0 ) ,))),( .((,0((,)(000000))dd dd)) PFPFxyxyPFPFxfyyxxxxxyx ???????則由鏈式法則可微若要求三、隱函數(shù)定理 .0),()。第 18章 隱函數(shù)定理及其應用 167。 1 隱函數(shù) 一、 隱函數(shù)概念 .).si nsi n(si n,1,22顯函數(shù)這種形式的函數(shù)稱為如式是自變量的某個算式若函數(shù)的因變量的表達zxyzxyeuyxz xyz ?????? .J ,I)1( ( 1 ) ,x ,Jy,Ix ,YJXI)1( ,0)y,x(F .RYX:F,RY,RX隱函數(shù)的值域含于上確定一個定義在則稱由方程滿足方程一起它與唯一的使得與若存在集合對于方程函數(shù)一個方程確定。,(。0(),( ( i i )),( ( i ) 內存在連續(xù)的偏導數(shù)在初始條件上連續(xù)為內點的某一區(qū)域在以函數(shù)若滿足下列條件隱函數(shù)存在唯一性定理 )( 定理.),)(。 2 隱函數(shù)組 一、 隱函數(shù)組概念 .)1(.,)1()1(,0),(,0),(,),(.),(),(24隱函數(shù)組所確定的組稱這兩個函數(shù)為由方程內的函數(shù)和值域分別落在上確定兩個定義在則說方程組一起滿足方程組它們與上唯一的一對值和分別有區(qū)間中每一點對于若存在平面區(qū)域函數(shù)上的兩個四元為定義在區(qū)域和設