【正文】 mknkknmnxxxxxxfxxxL?????????構(gòu)造拉格朗日函數(shù)表示的條件極值問題和對(duì)于一般的,(,),(,),1,0()0(1)0()0(1)0()0(111)0()0(100?????????????????nmPnmmnnkxxmmxxxxxxPDDmkf使得個(gè)常數(shù)則存在的秩為且雅可比矩陣是上述問題的極值點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)若內(nèi)有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域與其中下的極值問題在條件對(duì)于函數(shù) ,( 1 3 ) ,( 3 )( 2 ) 11???????????????????????定理1 8 . 6. : ,的解個(gè)方程下述為即的穩(wěn)定點(diǎn)為拉格朗日函數(shù)??????????????????????????????????0),(,0),(,0,0),()12()2121111 11)0()0(1)0()0(1)0(11nmnmk nkknxmkkkxmnmxxxLxxxLxxfLxxfLmnxxmn??????????????????????? .題能判斷有極值的極值問根據(jù)具體( 實(shí)際) 問題 1.三、 例題 .問題求解本節(jié)的水箱設(shè)計(jì)的用拉格朗日乘數(shù)法重新 例1. )()(2),( Vx yzxyyzxzzyxL ????? ??設(shè)拉格朗日函數(shù)解： ??????????????????????,0,0)(2,02,02Vxy zLxyyxLxzxzLyzyzLzyx????解方程組.22)4(。0()2()1(3 Vzyxzxzxzyxyx???????????? 得再由得由舍去得由.43 24 3333 22.VVVVxyzV 值為時(shí)，表面積最小，最小，分別為因此當(dāng)長(zhǎng)寬高下確實(shí)存在最小值依題意，水箱表面積在 ?. . 最短距離求橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)和截成一個(gè)橢圓被平面拋物面122?????zyxzyx例2.1),(22222題下的最大值與最小值問及在條件函數(shù)這個(gè)問題的實(shí)質(zhì)是要求解： ????????zyxzyxzyxzyxf. )1()(),( 22222 ?????????? zyxzyxzyxzyxL ????設(shè)拉格朗日函數(shù) ??????????????????????????????.01,0,02,022,02222zyxLzyxLzLyyLxxLzyx????????解方程組.3117353 32231 ,3,3 ???????????? zyx ，得到??.,)(,)(.359,35935932231231 ?????和最短距離于是橢圓到原點(diǎn)的最長(zhǎng)得，又由故有最大值最小值上連續(xù)有界閉域由于距離函數(shù)在橢圓條件極值必在其中取得??f練習(xí) 1 將正數(shù) 12 分成三個(gè)正數(shù) zyx , 之和 使得zyxu 23? 為最大 . 解 令 )12(),( 23 ????? zyxzyxzyxF ? ,??????????????????????120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx???解得唯一駐點(diǎn) )2,4,6( ，.6 9 1 2246 23m a x ????u則 故最大值為之間的最短距離．與平面求曲面 2222 ????? zyxyxz練習(xí) 2 解 .2261022,),( 22??????????zyxdzyxPyxzzyxP的距離為到平面則上任一點(diǎn)為拋物面設(shè)最小．使?jié)M足化為求點(diǎn) 2222 )22(610),( ??????? zyxdzyxzyxP),()22(61),( 222 yxzzyxzyxF ??????? ?令 得 ???????????????????????????????????)4(,)3(,0)2)(22(31)2(,02)22(31)1(,02)22(3122 yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx???.81,41,41:??? zyx解得.64 7241414161m i n ?????d),81,41,41(即得唯一駐點(diǎn)處取得最小值．駐點(diǎn)，故必在一定存在，且有唯一根據(jù)題意距離的最小值)81,41,41(.其它問題 2. .,3 。 作業(yè) ： P169, 1(3), 2(1), 3(1), 4(提示 :仿例 3). “ 第 18章 隱函數(shù)定理及其應(yīng)用 ” 的習(xí)題課 一、內(nèi)容要求 了解隱函數(shù)的概念，理解隱函數(shù)存在唯一性定理、可微性定理，掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法 了解隱函數(shù)組的概念，理解隱函數(shù)組定理、掌握求導(dǎo)法，了解反函數(shù)定理與坐標(biāo)變換 會(huì)求平面曲線的切線與法線，空間曲線的切線與與法平面，曲面的切平面與法線 會(huì)用拉格朗日乘數(shù)法解決條件極值問題 (極值、最值、不等式 ) 二、作業(yè)問題 P151， 1， 2； P158， 6 三、練習(xí) ( 1 ) ? 3)( 1 ) ? 2)( 1 ) ? 1).( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) , 滿足問有多少單值連續(xù)函數(shù)設(shè)滿足方程問有多少單值連續(xù)函數(shù)滿足方程問有多少單值函數(shù)的單值函數(shù)為滿足及設(shè)已知方程)2(,0)1()(。0)(21212121FFyzyzFFFFxzxzFF???????????????????????????????.)()(2)(,0)())](1()1([)1()1(3221221221221122222211211FFFFFFFFyxzyxzFxzyzFFyzFF?????????????????????????????????????????????????????????.)()]1()1([)]1()1([2222211212112同上或： ?????????????????????????????????FyzFFFFyzFFyxz . 22),(,s i ns i nco sco sco sxzyxzzzyx???????????并求問在何處存在隱函數(shù)設(shè)?????4).,(s i ns i n),(),(02s i n,2s i nc o ss i nc o sc o ss i ns i ns i nc o sc o ss i n),(),(s i nc o sc o sc o s :21yxzzyx，yxyxyx???????????????????????????????????????????????隱函數(shù)得代入，時(shí)存在反函數(shù)當(dāng)知，由解.c o ss i n,c o s 22222xxxzxxz??????????????????????? ??????,c o ss i n,s i nc o sc o sc o ss i ns i n0 s i nc o sc o ss i n1 ???????????? ?????? ?????????????????xxxx xx ，,c o ss i nc o sc o ss i ns i n s i nc o sc o ss i ns i n32222222?????????????? ?????????? xxx.s i nc o sc o ss i n c o ss i nc o sc o ss i ns i nc o ss i nc o ss i n322232222222????????????????????????? ????????????????xz).1,1,1(),(( * ))2()。1 6 91243,0)12(12)4(4)3(3:124312124433 zyxzyxzyxzyx???????????????? 即法線即切平面 .t a n,t a n, 22222222兩兩直交試證球坐標(biāo)曲面 ?? zyxxyrzyx ??????7處的法向量分別為各曲面在交點(diǎn)證 ),(: zyx},t a n2,2,2{},0,1,{ t a n},2,2,2{ 2321 ?? zyxnnzyxn ????? ???.02t an2,0t an444,02t an23222223121?????????????yxnnzyxnnyxnn????????? .兩兩直交故 . 軸成定角的切線與試證螺旋線 Ozbtztaytax ??? ,s i n,c o s8,},c o s,s i n{ btataT ???切向量證：.0,|||| 2233 ???????????babeTeTOz????co s 的余弦軸夾角切線與.cos 軸成定角為常數(shù)，故知切線與由于 Oz?.,0),(22并求原方程的解將它化簡(jiǎn)為新方程利用變換滿足方程設(shè) ????????????????????yxyzxzyxzz9??????????????????????????????????????????????