凸函數(shù)的性質及其應用論文(編輯修改稿)
2025-07-21 22:38 本頁面
【文章內容簡介】 數(shù)的充要條件是：定理4 （不等式）若為上的凸函數(shù)，則 , ，有.證明 ，,即對任何 與都有現(xiàn)設及（i=1,2,…k+1）,.令i=1,2,…,k,= = 即對任何正整數(shù),上述不等式成立.推論 設在區(qū)間I上是凸函數(shù),則對于任意的和都有. 3 凸函數(shù)的應用 我們討論了凸函數(shù)的有界性，左右函數(shù)極限和性質. 例1 設函數(shù)在區(qū)間I上為凸函數(shù)，試證：在I上的任一閉子區(qū)間上有界. 證明 設為任一閉子區(qū)間:①（證明在上有上界）取.因為凸函數(shù),所以 其中. 故在上有上界；②（證明在上有下界）記為的中點，則，有關于的對稱點，因為凸函數(shù)，所以 , 從而 ， 即為在上的下界.例2 設為區(qū)間內的凸函數(shù)，試證：在I上的任一內閉區(qū)間上滿足條件.證明 要證明在區(qū)間上滿足條件，即要證明：使得有 (1)因為，故可取充分小，（其中分別表示在上的上下界）,從而 (2)若 可取由的凸性，有， 從而 由此可得(2)式成立.若，則（2）（2）（2）式當與互換位置也成立，故有，令則（1）式也獲證. 例3 設為區(qū)間內的凸函數(shù),并且有界,試證極限 與存在.證明 設時為內任意三點，根據(jù)的凸性,根據(jù)單調有界原理,有極限 , 從而 亦存在.將凸性與函數(shù)的連續(xù)性（甚
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