凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用論文-在線瀏覽
2025-08-11 22:38本頁面
【正文】 其中. 故在上有上界；②（證明在上有下界）記為的中點(diǎn)，則，有關(guān)于的對稱點(diǎn)，因?yàn)橥购瘮?shù)，所以 , 從而 ， 即為在上的下界.例2 設(shè)為區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù)，試證：在I上的任一內(nèi)閉區(qū)間上滿足條件.證明 要證明在區(qū)間上滿足條件，即要證明：使得有 (1)因?yàn)?，故可取充分小，（其中分別表示在上的上下界）,從而 (2)若 可取由的凸性，有， 從而 由此可得(2)式成立.若，則（2）（2）（2）式當(dāng)與互換位置也成立，故有，令則（1）式也獲證. 例3 設(shè)為區(qū)間內(nèi)的凸函數(shù),并且有界,試證極限 與存在.證明 設(shè)時(shí)為內(nèi)任意三點(diǎn)，根據(jù)的凸性,根據(jù)單調(diào)有界原理,有極限 , 從而 亦存在.將凸性與函數(shù)的連續(xù)性（甚至單側(cè)連續(xù)性）、單調(diào)性等聯(lián)系起來,應(yīng)用到積分學(xué)中可以得到許多好的結(jié)論,我們舉例如下: 例4 :，有.證明 令 則, (1) 同理，令，亦有 從而, (2) ,故由（2）式得 . 另外,由（1）式,應(yīng)用的凸性 .例5 設(shè)是上的凸函數(shù),求證： （1）為上的凸函數(shù). 證明 為上的凸函數(shù),因此它在內(nèi)連續(xù),(1)有意義. ,令 時(shí) （2）恒有 [因(2)] = （因的凸性） 所以是上的凸函數(shù). 例6 設(shè)函數(shù)在上遞增,試證 函數(shù)為凸函數(shù). 證明 因 遞增, 故由定理1知為凸函數(shù).例7 設(shè)為上的凸函數(shù),證明 有 （1）證明 因?yàn)橥购瘮?shù), 由定理1推論4 ，存在且遞增（當(dāng)）.故(1) 有 參看定理2，我們有 于是由.(1
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