【正文】 ，為維非負(fù)實向量集，為維正實向量集。 設(shè)集合是閉的，則為凸集的充分必要條件是：對任意，都有。(1)如果恒成立，則稱在上為凸函數(shù)。顯然如果是凸函數(shù)，則是凹函數(shù)，所有關(guān)于凸函數(shù)的不等式反向即得凹函數(shù)的相應(yīng)不等式。 幾何凸函數(shù)的定義 設(shè)在區(qū)間上有定義，如果對于任意,有 (12)那么稱在上是幾何下凸的。本論文分別稱它為幾何凸函數(shù)和幾何凹函數(shù)。顯然幾何凸(凹)函數(shù)必須定義在幾何凸集上，原因是定義中“對，式(12)都有意義”隱含著。,∈，有 . (13)當(dāng)是幾何凹函數(shù)時，式(13)不等式反向。(1)，時成立，假設(shè)，命題成立。(2)假設(shè),，命題成立，下證的情形，因已假設(shè)成立，令,則 所以命題對也成立。幾何凸（凹）函數(shù)的定義域和值域必須為非負(fù)實數(shù)集的子集（本論文定義在正實數(shù)集的子集上）。若是凸函數(shù)，則是幾何凸函數(shù)，這樣的關(guān)系叫做共軛，因為log和exp互為反函數(shù)。(2) 若是幾何下凸（上凸）函數(shù), 則是上的連續(xù)的下凸（上凸）函數(shù)。 (2) 若是幾何下凸（上凸）函數(shù), 任取, 有因連續(xù), 故也連續(xù), 所以是上的連續(xù)的下凸（上凸）函數(shù)。 若為凹函數(shù), 則為上的幾何凹函數(shù)；反之，若為幾何凹函數(shù), 則為上的凹函數(shù)。眾所周知，判別一個函數(shù)是否為凸函數(shù)方法有很多，這樣我們可以通過以上定理得到幾何凸函數(shù)另外的判別方法。第2章 幾何凸函數(shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用 幾何凸函數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè),為區(qū)間上的幾何凸函數(shù)，,為上的幾何凹函數(shù)，則(1)為上的幾何凹函數(shù)，為上的幾何凸函數(shù)。(3) 為上的幾何凸函數(shù)，為上的幾何凹函數(shù)。例1 定義在上的函數(shù)為幾何凸函數(shù)，而在不是幾何凸函數(shù)，在也不是幾何凸函數(shù)。 同理在也不是幾何凸函數(shù)，其實和分別在它們各自定義的區(qū)間內(nèi)為幾何凹函數(shù)。(2)為上的單調(diào)遞增的幾何凹函數(shù)，則是上的幾何凹函數(shù)。 若為常數(shù)，區(qū)間，設(shè)，(1)為上的單調(diào)遞減的幾何凸函數(shù)，則是上的幾何凸函數(shù)。例2 判別以下函數(shù)的幾何凹凸性。 (2)因為時是幾何凹函數(shù)，(2)的結(jié)論是幾何凹函數(shù)。(2) 若為上遞增（遞減）幾何下凸函數(shù)，為上的幾何下（上）凸函數(shù)，則為上的幾何下凸函數(shù)。任取，則, 因為函數(shù)為上的幾何上凸函數(shù)，所以，有又函數(shù)為上的遞增函數(shù)，所以，有因函數(shù)為幾何上凸函數(shù)，所以，有即故為上的幾何上凸函數(shù)。 設(shè)是定義在區(qū)間上遞減的正值函數(shù)，那么(1) 若為區(qū)間上的幾何下凸函數(shù)，則為上的下凸函數(shù)。證明：僅證(1)，同樣的方法可證(2)。證畢。證明：對任意的和，因是上的上凸函數(shù)，所以，有又由基本不等式，有且為上的遞減函數(shù)，于是，有所以，有，故是區(qū)間上的幾何下凸函數(shù)。 設(shè)在上的正值函數(shù)，則在上的幾何下（上）凸函數(shù)的充分必要條件為在上的下（上）凸函數(shù)。任取和,令,則因在上的下凸函數(shù)，所以，有從而，有將代入上式得。證畢。證明：任取和因為,為上的上凸函數(shù)。證畢。 幾何凸函數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的幾何凸性有以下經(jīng)濟意義 設(shè), 函數(shù)二階可導(dǎo), 則為幾何凸（凹）函數(shù)的充分必要條件為的彈性函數(shù)為單調(diào)增加（減少）的。的彈性函數(shù)為，而即知定理成立。例2 設(shè)，則函數(shù)為幾何凸函數(shù)。第3章 函數(shù)幾何凸性的幾個問題 幾何凸函數(shù)的判別問題判斷一個函數(shù)幾何凸性的一般步驟：(1)由先求出的有可能成為幾何凸（凹）函數(shù)的定義區(qū)間；(2)判別函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的幾何凸性：直接用幾何凸函數(shù)定義，或微分判別法。為后面應(yīng)用方便，下面舉幾個幾何凸（凹）函數(shù)的例子。證明：當(dāng)時，任取有所以為幾何凸函數(shù)。例2 設(shè)則函數(shù)在上是幾何凹函數(shù)。類似地可證：函數(shù),是幾何凸函數(shù)，函數(shù), 是幾何凹函數(shù)。證明：由于時，函數(shù)幾何凸性的微分判別式為T=設(shè)，則所以，有,故是上的幾何凹函數(shù)。 幾何凸（凹）函數(shù)之“和積商”的幾何凸性 都是上的幾何凸函數(shù)，則是上的幾何凸函數(shù)。兩個幾何凹函數(shù)之和的情況要復(fù)雜的多，其結(jié)果可能是幾何凹函數(shù)，也可能是幾何凸函數(shù)，也可能不再具有幾何凸性：(1)由例2結(jié)論，在上都是幾何凹的，在上還是幾何凹的；(2)用微分判別法容易證明：在上是幾何凹的（微分判別式T =），但在上卻是幾何凸的。例4 判斷函數(shù)的幾何凸性。 幾何凹函數(shù)之和的奇妙“凸”性無窮多個幾何凹函數(shù)之和可為幾何凸函數(shù)，一個經(jīng)典的例子為 當(dāng)時　　　　　　　　　　　　　　　　　(32)由于，由例1結(jié)論，(32)式左邊均為幾何凹函數(shù)，而由例3結(jié)論，也是幾何凹函數(shù)，因此，(32)式右邊是幾何凸函數(shù)。 由凸函數(shù)生成幾何凸函數(shù) 設(shè)是D上的凸（或凹）函數(shù)（即對任意的都有 ），則是實數(shù)集上的幾何凸（或凹）函數(shù)。由得，故對任意的有)所以是上的幾何凸函數(shù)，等價于是實數(shù)集上的幾何凸函數(shù)。其實不然，它與凸函數(shù)不同的地方，從定義看，凸函數(shù)是以“和”的形式定義的，而幾何凸函數(shù)是以“積”的形式定義的，盡管定義等價，但結(jié)論并不完全相對應(yīng)。如凸函數(shù)的下列不等式：設(shè)是上的凸函數(shù)，則對任意的都有1)。而在幾何凸函數(shù)中卻有與1)相應(yīng)的不等式存在：設(shè)是上的幾何凸函數(shù)，則對任意的都有 (33) (2)幾何凸函數(shù)中“和”形式的不等式，如文[1]中關(guān)于一元二次多項式的幾何凸性的不等式，一般不能平推到凸函數(shù)上去；凸函數(shù)中“積”形式的不等式，很難平推到幾何凸函數(shù)上去。(3)幾何凸函數(shù)的許多理論（不是全部）是可由凸函數(shù)平推過來的，如凸函數(shù)中著名的琴生(Jensen)不等式平推到幾何凸函數(shù)中，有 設(shè)是上的幾何凸（或凹）函數(shù)，則對，滿足，有 (34)例5 銳角三角形ABC中，求證：證明：設(shè)，則函數(shù)幾何凸性的微分判別式所以是幾何凹函數(shù)，得，變形即得欲證不等式。證明：當(dāng)是上的幾何凸函數(shù)時，令則是到的一一對應(yīng)。 當(dāng)是上的幾何凹函數(shù)時，類似可證。 推論 在上和具有相同的幾何凸性。如：(1)在上是幾何凸函數(shù)，由推論知和也是上的幾何凸函數(shù)。(3)設(shè)(正整數(shù)集)，則函數(shù)與具有相同的幾何凸性。函數(shù)與具有相同的幾何凸性。函數(shù)與具有相同的幾何凸性。是()上的幾何凹函數(shù)。例7 在上是幾何凸的，則在的幾何凸子集,為有理數(shù)}上也是幾何凸的；函數(shù)是幾何凹的，則在的幾何凸子集上也是幾何凹的。如函數(shù)在區(qū)間和上都是幾何凹的，但是在區(qū)間上不是幾何凹的。在上不是幾何凸的。 一元高次多項式函數(shù)的幾何凸性對于一元高次多項式函數(shù)在上的幾何凹性，2003年成都科學(xué)院計算研究所楊露[1]證明了：一元三次多項式函數(shù)，常數(shù)項不為零時，在上不可能是幾何凹的。 一元次多項式函數(shù)，且不是單項式）不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)。所以不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)。只須將上述證明進行修改，將“在(35)中取”改為“在(35)中取”即可。問題1 一元次多項式函數(shù),且不是單項式）不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)，那么在其他類型的區(qū)間(),上能成為幾何凹函數(shù)嗎?目前已經(jīng)解決了一元二次函數(shù)幾何凸性的判別問題，對一元三次函數(shù)幾何凸性的判別作了初步研究。在探索的過程中又得到了如下的一些結(jié)果： 設(shè)一元次多項式函數(shù)（,且不是單項式）是區(qū)間上的幾何凸（或凹）函數(shù)，則（或）。結(jié)論：下標(biāo)第二小的系數(shù)≥(或≤)0。 證明：如果是區(qū)間上的幾何凸(或凹)函數(shù)，由定義知是正值函數(shù)，故，對任意的，恒有 ()≤(或≥) (37)在式(37)兩邊同時除以，并令，變形得 ，推出由取值的任意性知。推論 次多項式函數(shù)，且不是單項式)是區(qū)間上的幾何凸（或凹）函數(shù)的一個必要條件是,（或,）。證明：必要性：對于s0的情形，由與的幾何凸性相同，只需考慮的情形。充分性：利用Cauchy不等式，=結(jié)論成立。 介紹幾類平均先介紹幾個平均的定義，關(guān)于離散型的算術(shù)平均為，幾何平均為；當(dāng)時，的加權(quán)算術(shù)平均，加權(quán)幾何平均為；眾所周知。 設(shè)且連續(xù)，則. (41)例1 設(shè)，求在上的算術(shù)平均和幾何平均。例2 設(shè)，則為幾何凸函數(shù)。 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，在上是幾何凸函數(shù)，那么 (43)在上也是幾何凸函數(shù)。例4 考