【文章內(nèi)容簡介】 ：對,結(jié)論顯然成立。類似地可證：函數(shù),是幾何凸函數(shù)，函數(shù), 是幾何凹函數(shù)。例3 設(shè)，則是上的幾何凹函數(shù)。證明：由于時，函數(shù)幾何凸性的微分判別式為T=設(shè)，則所以，有,故是上的幾何凹函數(shù)。類似可證，當時，是幾何凸函數(shù)。 幾何凸（凹）函數(shù)之“和積商”的幾何凸性 都是上的幾何凸函數(shù)，則是上的幾何凸函數(shù)。證明：對，有()≤,，利用Cauchy不等式，得，故是上的幾何凸函數(shù)。兩個幾何凹函數(shù)之和的情況要復(fù)雜的多，其結(jié)果可能是幾何凹函數(shù)，也可能是幾何凸函數(shù)，也可能不再具有幾何凸性：(1)由例2結(jié)論，在上都是幾何凹的，在上還是幾何凹的；(2)用微分判別法容易證明：在上是幾何凹的（微分判別式T =），但在上卻是幾何凸的。 是上的幾何凸（或凹）函數(shù)，則是上的幾何凸（或凹）函數(shù)，是上的幾何凹（或凸）函數(shù)。例4 判斷函數(shù)的幾何凸性。解：易證當時，與分別為幾何凸函數(shù)和幾何凹函數(shù)，知所給函數(shù)為幾何凸函數(shù)。 幾何凹函數(shù)之和的奇妙“凸”性無窮多個幾何凹函數(shù)之和可為幾何凸函數(shù)，一個經(jīng)典的例子為 當時　　　　　　　　　　　　　　　　　(32)由于，由例1結(jié)論，(32)式左邊均為幾何凹函數(shù)，而由例3結(jié)論，也是幾何凹函數(shù)，因此，(32)式右邊是幾何凸函數(shù)。于是，(32)式左邊為無窮多個幾何凹函數(shù)之和，等于（右邊的）幾何凸函數(shù)，令人感到不可思議！這里將換成，由于，結(jié)論不變。 由凸函數(shù)生成幾何凸函數(shù) 設(shè)是D上的凸（或凹）函數(shù)（即對任意的都有 ），則是實數(shù)集上的幾何凸（或凹）函數(shù)。證明：只給出是上的凸函數(shù)時候的證明。由得，故對任意的有)所以是上的幾何凸函數(shù)，等價于是實數(shù)集上的幾何凸函數(shù)。，似乎幾何凸函數(shù)的所有性質(zhì)均可由凸函數(shù)的性質(zhì)導(dǎo)出。其實不然，它與凸函數(shù)不同的地方，從定義看，凸函數(shù)是以“和”的形式定義的，而幾何凸函數(shù)是以“積”的形式定義的，盡管定義等價，但結(jié)論并不完全相對應(yīng)。 (1)加權(quán)系數(shù)中含有變量的凸函數(shù)中不等式，是不能平推為幾何凸函數(shù)的不等式的。如凸函數(shù)的下列不等式：設(shè)是上的凸函數(shù)，則對任意的都有1)。2)它們不能平推為幾何凸函數(shù)的不等式。而在幾何凸函數(shù)中卻有與1)相應(yīng)的不等式存在：設(shè)是上的幾何凸函數(shù)，則對任意的都有 (33) (2)幾何凸函數(shù)中“和”形式的不等式，如文[1]中關(guān)于一元二次多項式的幾何凸性的不等式，一般不能平推到凸函數(shù)上去；凸函數(shù)中“積”形式的不等式，很難平推到幾何凸函數(shù)上去。加權(quán)系數(shù)中含有變量的不等式和積分不等式也不能平推。(3)幾何凸函數(shù)的許多理論（不是全部）是可由凸函數(shù)平推過來的，如凸函數(shù)中著名的琴生(Jensen)不等式平推到幾何凸函數(shù)中，有 設(shè)是上的幾何凸（或凹）函數(shù)，則對，滿足，有 (34)例5 銳角三角形ABC中，求證：證明：設(shè)，則函數(shù)幾何凸性的微分判別式所以是幾何凹函數(shù)，得，變形即得欲證不等式。 由已知的較簡單的幾何凸函數(shù)生成較復(fù)雜的幾何凸函數(shù) 設(shè)是上的幾何凸（或凹）函數(shù)，則是上的幾何凸（或凹）函數(shù)。證明：當是上的幾何凸函數(shù)時，令則是到的一一對應(yīng)。 ()≤ ()≤()≤由此可知。 當是上的幾何凹函數(shù)時，類似可證。實際上從證明過程看這里的條件是充分必要的。 推論 在上和具有相同的幾何凸性。有了這些結(jié)果，可很方便地從一個已知的幾何凸（或凹）函數(shù)出發(fā)，推出一些新的幾何凸（或凹）函數(shù)。如：(1)在上是幾何凸函數(shù)，由推論知和也是上的幾何凸函數(shù)。(2)函數(shù)是幾何凹的，則在上也是幾何凹的。(3)設(shè)(正整數(shù)集)，則函數(shù)與具有相同的幾何凸性。函數(shù)與具有相同的幾何凸性。函數(shù)與具有相同的幾何凸性。(4)設(shè)則函數(shù)與具有相同的幾何凸性。函數(shù)與具有相同的幾何凸性。(5)設(shè)是正整數(shù)，則是上的幾何凸函數(shù)，和是()上的幾何凹函數(shù)。是()上的幾何凹函數(shù)。 由幾何凸函數(shù)的定義域變換生成 若在上是幾何凸（或凹）的，則在的任一非空幾何凸子集上也是幾何凸（或凹）的。例7 在上是幾何凸的，則在的幾何凸子集,為有理數(shù)}上也是幾何凸的；函數(shù)是幾何凹的，則在的幾何凸子集上也是幾何凹的。注 幾何凸（或凹）函數(shù)的定義區(qū)間可按幾何凸集分割，但不能合并。如函數(shù)在區(qū)間和上都是幾何凹的，但是在區(qū)間上不是幾何凹的。這是因為又如在區(qū)間和上都是幾何凸的，但由于因此無意義。在上不是幾何凸的。實際上，這里又得到了一個簡易的函數(shù)幾何凸性的定義域特征判別方法：如果，則既不是幾何凸函數(shù)，也不是幾何凹函數(shù)。 一元高次多項式函數(shù)的幾何凸性對于一元高次多項式函數(shù)在上的幾何凹性，2003年成都科學(xué)院計算研究所楊露[1]證明了：一元三次多項式函數(shù)，常數(shù)項不為零時，在上不可能是幾何凹的。下面給出隨后獲得的結(jié)果。 一元次多項式函數(shù)，且不是單項式）不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)。 證明：如果是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)，由定義，知是正值函數(shù)，故有,，對任意的，恒有 (35)在式(35)中取，得，即 (36)(36)式對恒成立，由取值的任意性當時，知，與前述矛盾。所以不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)。注 如果區(qū)間改為開區(qū)間,當時結(jié)論仍成立。只須將上述證明進行修改，將“在(35)中取”改為“在(35)中取”即可。當時，，如果不是常數(shù)函數(shù)（相當于不是單項式），易知和具有相同的幾何凸性，由上述證明的的結(jié)論，此時不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)。問題1 一元次多項式函數(shù),且不是單項式）不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)，那么在其他類型的區(qū)間(),上能成為幾何凹函數(shù)嗎?目前已經(jīng)解決了一元二次函數(shù)幾何凸性的判別問題，對一元三次函數(shù)幾何凸性的判別作了初步研究。但四次（或四次以上）的多項式函數(shù)的幾何凸性的判別仍然沒有解決。在探索的過程中又得到了如下的一些結(jié)果： 設(shè)一元次多項式函數(shù)（,且不是單項式）是區(qū)間上的幾何凸（或凹）函數(shù)，則（或）。 證明：，由定義知是正值函數(shù)，故，在式(36)中時，有令，即得. 注 如從證明過程可推知，依此類推。結(jié)論：下標第二小的系數(shù)≥(或≤)0。 設(shè)一元次多項式函數(shù),且不是單項式）是區(qū)間上的幾何凸(或凹)函數(shù)，則（或）。 證明：如果是區(qū)間上的幾何凸(或凹)函數(shù)，由定義知是正值函數(shù)，故，對任意的，恒有 ()≤(或≥) (37)在式(37)兩邊同時除以，并令，變形得 ，推出由取值的任意性知。 注 如果從上述證明過程可推知，依此類推，結(jié)論：下標第二大的系數(shù)≥(或≤)0。推論 次多項式函數(shù)，且不是單項式)是區(qū)間上的幾何凸（或凹）函數(shù)的一個必要條件是,（或,）。 四項多項式函數(shù) ,，)為區(qū)間上的幾何凸函數(shù)的充分必要條件是,.這里區(qū)間：當s0時為，當s=0時為。證明：必要性：對于s0的情形，由與的幾何凸性相同，只需考慮的情形。、易知結(jié)論為真。充分性：利用Cauchy不等式，=結(jié)論成立。第4章 幾何凸函數(shù)的積分不等式本章將討論幾何凸函數(shù)的定積分，給出幾何凸函數(shù)的幾個積分性質(zhì)和積分不等式，其中有些與經(jīng)典不等式強弱不相上下。 介紹幾類平均先介紹幾個平均的定義，關(guān)于離散型的算術(shù)平均為，幾何平均為；當時，的加權(quán)算術(shù)平均，加權(quán)幾何平均為；眾所周知。設(shè)函數(shù)連續(xù)，則其算術(shù)平均為，幾何平均為；當,時，的加權(quán)算術(shù)平均為，加權(quán)幾何平均為；同樣有，這兩個結(jié)果都是已知的，為了敘述上的方便，以下記。 設(shè)且連續(xù)，則. (41)例1 設(shè)，求在上的算術(shù)平均和幾何平均。 解 ； . 積分與幾何凸函數(shù) 設(shè),在上有定義，且對于任何 在上的限制為幾何凸函數(shù)，則 (42)是上的幾何凸函數(shù)。例2 設(shè)，則為幾何凸函數(shù)。證明：對于上的任一，有，所以為幾何凸函數(shù)，由以上定理知為幾何凸函數(shù)。 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，在上是幾何凸函數(shù)，那么 (43)在上也是幾何凸函數(shù)。例3 考慮函數(shù)其在處右連續(xù)，且明顯在上為幾何凸函數(shù)，所以為在上幾何凸函數(shù)。例4 考慮函數(shù)，由其冪級數(shù)展開式知為幾何凸函數(shù)，所以在上是幾何