【正文】 【 關(guān)鍵詞 】 凸函數(shù)；不等式；幾何凸函數(shù)；單調(diào)函數(shù)10【篇 名】 關(guān)于幾何凸函數(shù)的Jensen不等式的加細(xì)【作 者】 王良成，白?！究? 名】 數(shù)學(xué)的實踐與認(rèn)識，2010年12月【機(jī) 構(gòu)】 重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計算機(jī)學(xué)院，重慶理工大學(xué)數(shù)理學(xué)院【摘 要】 利用幾何凸函數(shù)的Jensen不等式建立一個由到上的一個映射，研究了這個映射的單調(diào)性，獲得一個該Jensen不等式的加細(xì)，并得到幾何股函數(shù)的一些新的不等式?！?關(guān)鍵詞 】凸函數(shù)；幾何凸函數(shù)；不等式；控制；對數(shù)控制6【篇 名】 幾何凸函數(shù)平方凸函數(shù)與凸函數(shù)的關(guān)系【作 者】 胡英武，胡曉飛【刊 名】 文山師范高等專科學(xué)校學(xué)報，2006年3月【機(jī) 構(gòu)】 南開大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，金華職業(yè)技術(shù)學(xué)院【摘 要】 給出了一定條件下幾何凸函數(shù)，平方凸函數(shù)與凸函數(shù)的等價關(guān)系，以及幾何凸函數(shù), 平方凸函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判別法。 Γ etc illustrate the multiplicative version of convexity when restricted to appropriate subintervals of (0,+). As a consequence, we are not only able to improve on a number of classical elementary inequalities but also to discover new ones.【Keywords】Convex Functions。 cosh。參考文獻(xiàn)[1] ,LpLike Paranorms,Selected Topics in Functional Equations and Iteration Theory, Proceedings of the AustrianPolish seminar, Graz (1992),103138.[2] About Definition and Qualities of Generalized Convex Function. Secondary School Mathematics, 1999 (5).(Chinese)[3] , Geometrically Convex Functions. Hefei: An’hui University Press, .(Chinese)[4] , About Inequality of Geometrically Convex Function,Hebei University Learned Journal, (Natural Science Edition ),22 (2002), :325328. (Chinese)[5] , Convexity According to the Geometric Mean, Mathematical Inequalities amp。，以前的不等式成立。 設(shè)，則在(0,1)上是減函數(shù)。問題和引理美國數(shù)學(xué)月刊問題11031：定義一個“奇特”的平均，其中是分?jǐn)?shù)，和證明或反駁：這個“奇特”的平均總是小于或等于它的幾何平均數(shù)。當(dāng)lnln y，如果下面的不等式對任何成立 . (15)則被稱為S幾何凸函數(shù)。如果上述不等式是反方向成立，則稱為一個幾何凹函數(shù)。 ([3])被稱為一個幾何凸集，如果對任意,。幾何凸函數(shù)的定義我們假設(shè)與,維的歐氏空間，= {(,), 0,=1, 2n},α = (α,αα), = (,),= (, ), =(ln,lnln),=(,), 其中α∈R, = (,), = (,)。也非常感謝我系的各位老師，再他們的教育下，使我在各方面得到了很大的提高，為以后工作打下了良好的基礎(chǔ)。本文是在導(dǎo)師項立群副教授的精心指導(dǎo)下完成的，從論文的選題、設(shè)計方案直至完成論文的整個過程中，都得到了項立群老師耐心細(xì)致的指導(dǎo)。如何推廣函數(shù)的凸性概念，使得在更廣泛的函數(shù)范圍內(nèi)，凸函數(shù)的許多重要性質(zhì)仍然得以保留，凸規(guī)則的大多數(shù)結(jié)果能推廣到非凸規(guī)則，已構(gòu)成了數(shù)學(xué)規(guī)劃研究領(lǐng)域的當(dāng)前趨勢之一，所以研究幾何凸函數(shù)的一些定義和性質(zhì)就顯得十分必要了。討論了幾何凸函數(shù)的一些性質(zhì)，并運用其性質(zhì)證明若干不等式，介紹函數(shù)幾何凸性的幾種判別方法。所以，因此再根據(jù)的單調(diào)性知，對于都有，特別地，所以(44)式成立，定理得證。例4 考慮函數(shù)，由其冪級數(shù)展開式知為幾何凸函數(shù)，所以在上是幾何凸函數(shù)，對于任兩個正數(shù)，有成立。例2 設(shè)，則為幾何凸函數(shù)。 介紹幾類平均先介紹幾個平均的定義，關(guān)于離散型的算術(shù)平均為，幾何平均為；當(dāng)時，的加權(quán)算術(shù)平均，加權(quán)幾何平均為；眾所周知。證明：必要性：對于s0的情形，由與的幾何凸性相同，只需考慮的情形。 證明：如果是區(qū)間上的幾何凸(或凹)函數(shù)，由定義知是正值函數(shù)，故，對任意的，恒有 ()≤(或≥) (37)在式(37)兩邊同時除以，并令，變形得 ，推出由取值的任意性知。在探索的過程中又得到了如下的一些結(jié)果： 設(shè)一元次多項式函數(shù)（,且不是單項式）是區(qū)間上的幾何凸（或凹）函數(shù)，則（或）。只須將上述證明進(jìn)行修改，將“在(35)中取”改為“在(35)中取”即可。 一元次多項式函數(shù)，且不是單項式）不是區(qū)間上的幾何凹函數(shù)。在上不是幾何凸的。例7 在上是幾何凸的，則在的幾何凸子集,為有理數(shù)}上也是幾何凸的；函數(shù)是幾何凹的，則在的幾何凸子集上也是幾何凹的。函數(shù)與具有相同的幾何凸性。(3)設(shè)(正整數(shù)集)，則函數(shù)與具有相同的幾何凸性。 推論 在上和具有相同的幾何凸性。證明：當(dāng)是上的幾何凸函數(shù)時，令則是到的一一對應(yīng)。而在幾何凸函數(shù)中卻有與1)相應(yīng)的不等式存在：設(shè)是上的幾何凸函數(shù)，則對任意的都有 (33) (2)幾何凸函數(shù)中“和”形式的不等式，如文[1]中關(guān)于一元二次多項式的幾何凸性的不等式，一般不能平推到凸函數(shù)上去；凸函數(shù)中“積”形式的不等式，很難平推到幾何凸函數(shù)上去。其實不然，它與凸函數(shù)不同的地方，從定義看，凸函數(shù)是以“和”的形式定義的，而幾何凸函數(shù)是以“積”的形式定義的，盡管定義等價，但結(jié)論并不完全相對應(yīng)。 由凸函數(shù)生成幾何凸函數(shù) 設(shè)是D上的凸（或凹）函數(shù)（即對任意的都有 ），則是實數(shù)集上的幾何凸（或凹）函數(shù)。例4 判斷函數(shù)的幾何凸性。 幾何凸（凹）函數(shù)之“和積商”的幾何凸性 都是上的幾何凸函數(shù)，則是上的幾何凸函數(shù)。類似地可證：函數(shù),是幾何凸函數(shù)，函數(shù), 是幾何凹函數(shù)。證明：當(dāng)時，任取有所以為幾何凸函數(shù)。第3章 函數(shù)幾何凸性的幾個問題 幾何凸函數(shù)的判別問題判斷一個函數(shù)幾何凸性的一般步驟：(1)由先求出的有可能成為幾何凸（凹）函數(shù)的定義區(qū)間；(2)判別函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)的幾何凸性：直接用幾何凸函數(shù)定義，或微分判別法。的彈性函數(shù)為，而即知定理成立。證畢。證畢。 設(shè)在上的正值函數(shù)，則在上的幾何下（上）凸函數(shù)的充分必要條件為在上的下（上）凸函數(shù)。證畢。 設(shè)是定義在區(qū)間上遞減的正值函數(shù)，那么(1) 若為區(qū)間上的幾何下凸函數(shù)，則為上的下凸函數(shù)。(2) 若為上遞增（遞減）幾何下凸函數(shù)，為上的幾何下（上）凸函數(shù)，則為上的幾何下凸函數(shù)。例2 判別以下函數(shù)的幾何凹凸性。(2)為上的單調(diào)遞增的幾何凹函數(shù)，則是上的幾何凹函數(shù)。例1 定義在上的函數(shù)為幾何凸函數(shù)，而在不是幾何凸函數(shù)，在也不是幾何凸函數(shù)。第2章 幾何凸函數(shù)的基本性質(zhì)及應(yīng)用 幾何凸函數(shù)的基本性質(zhì) 設(shè),為區(qū)間上的幾何凸函數(shù)，,為上的幾何凹函數(shù)，則(1)為上的幾何凹函數(shù)，為上的幾何凸函數(shù)。 若為凹函數(shù), 則為上的幾何凹函數(shù)；反之，若為幾何凹函數(shù), 則為上的凹函數(shù)。(2) 若是幾何下凸（上凸）函數(shù), 則是上的連續(xù)的下凸（上凸）函數(shù)。幾何凸（凹）函數(shù)的定義域和值域必須為非負(fù)實數(shù)集的子集（本論文定義在正實數(shù)集的子集上）。(1)，時成立，假設(shè)，命題成立。本論文分別稱它為幾何凸函數(shù)和幾何凹函數(shù)。顯然如果是凸函數(shù)，則是凹函數(shù)，所有關(guān)于凸函數(shù)的不等式反向即得凹函數(shù)的相應(yīng)不等式。 設(shè)集合是閉的，則為凸集的充分必要條件是：對任意，都有。幾何凸函數(shù)是一類非常重要的函數(shù)，廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論等領(lǐng)域，它在判定函數(shù)的極值、研究函數(shù)的圖像以及不等式的證明諸方面都有廣泛的應(yīng)用。但是凸函數(shù)的局限性也很明顯，因為在實際問題中，大量的函數(shù)都是非凸的