分塊矩陣的性質及其應用論文-在線瀏覽
2025-08-14 13:11本頁面
【正文】 題 目分塊矩陣的性質及其應用 摘 要 分塊矩陣是線性代數(shù)中非常重要的一部分內容，分塊矩陣的性質是解題最基本的依據(jù)，本文通過對各類典型例題的分析和處理，來論述分塊矩陣的幾個性質及其在高等數(shù)學中的應用。關鍵詞：分塊矩陣，性質，應用。本文就分塊矩陣的加法與數(shù)量乘法、乘法、轉置、初等變換等運算性質，及分塊矩陣在矩陣求逆、行列式展開等方面的應用作了較為深入的探討。(1)分塊矩陣的定義定義 把一個矩陣A，在行的方向分成s塊，在列的方向分成t塊，稱為A的分塊矩陣，記作A=，其中（k=1,2,K,s。例 把一個5階矩陣 ①用水平和垂直的虛線分成4塊，如果記：= = =0 =就可以把A看作由上面4個小矩陣所組成，寫作：并稱它是A的一個分塊矩陣，其中的每一個小矩陣稱為A的一個子塊。矩陣分塊的第一個好處就是使得矩陣的結構顯得更清楚，如上面的矩陣①中，A的左上角是一個3階單位陣，左下角是零矩陣。矩陣分塊的目的在于簡化矩陣的運算，對矩陣進行分塊時，要根據(jù)實際需要來進行。定理 設是矩陣，是矩陣，若對作如下分塊： … … = = ①則=，其中G=（i=1,2,…r。其次，G的（i,j）元必位于分塊矩陣G的某一子塊之中，不妨設是的（，）元素，即有：i=++…++ j=++…++ ③由②式有：=++……+可知的（，）元素應是，…的第行分別與，…的第列相應元素乘積的和。在計算時，把的各小子塊看作元素，然后按通常的矩陣乘法把它們相乘，于是 AB=== =容易驗證，這個結果與按矩陣乘法法則直接計算的結果是一致的。b. 的每個列組所含的列數(shù)等于的相應行組所含的行數(shù)。第二步：對的每一塊取轉置。（右乘）分塊矩陣的某一塊行（矩陣）倍（即這個塊行里每一個小矩陣都左乘或右乘一個矩陣P）加到另一塊行上。例 設n階矩陣分塊表示為：，其中，為方陣，且和可逆，證明：可逆。為此，根據(jù)有關結論，可左乘矩陣其中,為單位陣,其階數(shù)分別為，的階數(shù)，于是：=B ||=||||由于||=1,|A|0,| |0, 所以||=||0故可逆。 證明 設= 于是 ==這里，分別表示k階和r階單位矩陣，則有 因此=例 設矩陣，求的逆。==。 ==所以的逆為：例 設行列式|P|=，試展開|P|。此時 當x0時，||=0，可逆。但是||=1，||=1 =（x+）+()這樣有|P|= =當x=0時，|P|=也可以表示為上述形式，所以行列式|P|的展開式為：|P|=。說明的各列都是=0的解，從而秩（）n秩（A），即證：秩（A）+秩（B）n例 如果是兩個任意的矩陣，證明：秩（）秩（A）+秩（B）證明 把矩陣按列分塊，記=,=則=；又組可由；線性表出，那么：秩（）=秩秩{，}秩{}+秩{}=秩（A）+秩（B）分塊矩陣在線性相關性及矩陣的分解中有廣泛的應用，欲透徹掌握達到運用自如卻非易事。作為線性代數(shù)的一個重要內容和工具的矩陣，我們大家往往容易忽視矩陣的這一點—矩陣分塊的作用。（行）向量線性相
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