變限積分確定的函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用-在線(xiàn)瀏覽
2024-08-02 17:03本頁(yè)面
【正文】 的應(yīng)用…………………………………………（11）．1利用變限積分求原函數(shù)……………………………………（11）．2 化積分問(wèn)題為微分學(xué)問(wèn)題 ………………………………（11） 求定積分……………………………………………………（12） …………………………………（14）三．結(jié)論………………………………………………………………（16）一、 變限積分的概念及其性質(zhì)定義1：如果函數(shù)在區(qū)間可積，則稱(chēng) ，叫變動(dòng)上限積分。定義2：（推廣定義）：如果函數(shù)在區(qū)間可積，為內(nèi)任一點(diǎn)，則稱(chēng)，叫變動(dòng)上限積分。變限積分是一種特殊的定積分，它具有很多特殊的性質(zhì)，比如它的導(dǎo)數(shù)很特殊以及它的連續(xù)性、奇偶性、周期性等。1. 2變限積分的性質(zhì)定理1(連續(xù)性)：設(shè)函數(shù)在區(qū)間[a，b]上可積，則變動(dòng)上限積分函數(shù)在[a，b]上連續(xù)，其中為[a，b]內(nèi)任一點(diǎn)。于是，當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)，則有，由此得到 ，即證得在點(diǎn)連續(xù)，由的任意性，在[a，b]上處處連續(xù)。定理 3 (導(dǎo)數(shù)推廣)：如果函數(shù)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，為[a，b]內(nèi)任一點(diǎn)，則變動(dòng)上積限積分，x。下面看幾個(gè)關(guān)于變積分導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的典型例題:例1：設(shè)，求。解：在的連續(xù)區(qū)間內(nèi)任選一點(diǎn)，比如取t=0，可得 = + =2例3：設(shè)可導(dǎo)，求分析：這里被積函數(shù)f中除含積分變量t外，還含參變量x，不能直接使用變限積分的導(dǎo)數(shù)定理，通常要通過(guò)變量替換消去被積函數(shù)f中參數(shù)x，則令u=2xt即可解：令u=2xt ，則 =2x =2+2x[2][2x =2例4：設(shè)x=0時(shí)，其中函數(shù)在區(qū)間（0，+）上連續(xù)且單調(diào)增加，試證F(x)在（0，+）也單調(diào)增加。定理3（奇偶性）設(shè)=，其中函數(shù)在區(qū)間[a，b]上可積，為[a，b]內(nèi)任一點(diǎn)。證明：由變量替換有 =+=0+即為偶函數(shù)。證明： F(x)= =所以F(x)也是偶函數(shù)。試證：亦是以Ｔ為周期的函數(shù)。在微積分教材中，牛萊公式的證明首先是假定在上可積，則任取，作函數(shù)，稱(chēng)它為變上限函數(shù)，再假定上連續(xù)，則變限函數(shù)在上連續(xù)、可導(dǎo)且，即變限函數(shù)是在上的一個(gè)原函數(shù)。 在前面提到的六個(gè)概念中,除了不定積分,其它五個(gè)概念都是某種形式的極限,得出了牛萊公式,這樣就將定積分的計(jì)算轉(zhuǎn)化為求的原函數(shù)在區(qū)
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