函數(shù)的極值及其應(yīng)用-在線瀏覽
2025-08-05 23:38本頁面
【正文】 樹與樹之間的距離和每一棵樹接受的陽光就會減少，根據(jù)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，每多種一棵樹，投產(chǎn)后果園中所有的枇杷樹平均每棵就會減少產(chǎn)量千克，問：增加多少棵枇杷樹，投產(chǎn)后可使果園琵琶的總產(chǎn)量最多？最多總產(chǎn)量是多少千克？解 設(shè)增種棵樹，則可知：果園共有樹棵，每棵樹平均產(chǎn)量為千克，果園琵琶的總產(chǎn)量為千克．依題意可得到：=，因?yàn)?，所以?dāng)時，有最大值，且其最大值為：．例10 給定正數(shù) 使 證明：．證明 假設(shè)與都是正整數(shù)，并考察個數(shù)，與 個數(shù)，．由算術(shù)平均與幾何平均不等式，有： ，即是，這就是要證明的不等式．但是當(dāng) 或中至少有一個是非正整數(shù)時，上述方法是不能直接運(yùn)用的．我們可以按下述方法來分析此種情況如何證明，將原不等式改寫成：令與，顯然有且，則問題歸結(jié)為證明：當(dāng)且僅當(dāng)且．依照此方式構(gòu)造出函數(shù)，就可以采用數(shù)學(xué)分析的方法處理此問題，其基本思想便是尋求在上的極小值，為了取導(dǎo)數(shù)簡單起見，考察函數(shù)，為了求得原函數(shù)的駐點(diǎn)，對原函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)： ，很明顯可以看出，當(dāng)且僅當(dāng)，進(jìn)而可以知道，在上，而在區(qū)間上，故在處能取得極小值．因?yàn)?，但因，所以．這樣便證明了，且，由此，獲得上述所需證明的不等式．求多元函數(shù)的極值，一般可以利用偏導(dǎo)數(shù)來解決．與一元函數(shù)類似，可以利用函數(shù)的極大值、極小值求解函數(shù)的最大值、最小值，但是由于自變量個數(shù)的增加，應(yīng)特別注意概念中的一些變化和計算．對于二元以上的函數(shù)極值問題可類似的加以解決，如可以將二元函數(shù)極值問題的理論推廣到多元函數(shù)的情形，以及利用泰勒公式推導(dǎo)出判斷多元函數(shù)極值存在的充分條件、極值不存在的必要條件等．4 結(jié)語文章主要對一元函數(shù)、二元函數(shù)極值的定義、判定方法及解題步驟進(jìn)行了系統(tǒng)的歸納總結(jié)，并通過實(shí)例把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，進(jìn)而具體應(yīng)用函數(shù)的極值來解決問題．但文章只給出了解決高等數(shù)學(xué)中一般函數(shù)極值問題方法，對于函數(shù)的條件極值問題，隱函數(shù)的極值問題等并未涉及，仍需進(jìn)一步完善．參 考 文 獻(xiàn)[1] [M].北京：高等教育出版社，2000. [2] [M].北京：高等教育出版社，2005. [3] [M].北京：北京教育出版社，2002. [4] 孫靜，[J]遼 ，24(3)：6668. [5] 王建梅，[J].工科數(shù)學(xué)，2002，18（6）： 117121.
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