淺談函數(shù)極值的求法及應用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-08-11 21:58本頁面
【正文】 那么，稱是的一個極大值點，就是其相應的極大值。（二）一元函數(shù)極值的必要條件定理1（Fermat引理） 假若是的一個極值點，并且在處可導，那么。 （i） 如果當時，而當時，那么為極小值。定理3（極值的第二充分條件） 假若在點的某鄰域內(nèi)存在一階導數(shù)，在處存在二階導數(shù)，并且。（ii） 如果，那么為極小值。當?shù)谌N情況出現(xiàn)時，就用到極值的第三充分條件:定理4（極值的第三充分條件） 假若在的某鄰域內(nèi)直到階可導，在處階導數(shù)存在，并且，那么（i） 若為偶數(shù)，在處取得極值，并且當時取得極大值，時取得極小值。（四）一元函數(shù)求極值的現(xiàn)實應用例1 把一批貨物從河邊上A城運往距離河km的B城（見圖1），輪船運費單價為元/km，火車運費單價為元/km（）,問若在河邊一點M處，建筑鐵路MB，怎樣才能使總運費最少?？傔\費由，得BAM， 。所以M點選在距離C點km處時修建鐵路，總運費可達到最少。二、多元函數(shù)極值的求法（一）多元函數(shù)的簡單介紹定義2 已知是一開區(qū)域，是上的函數(shù)。定理5 如果點是函數(shù)的極值點，并且在點有偏導數(shù)，那么，在點的一階偏導數(shù)都等于零，即定理6（多元函數(shù)極值的充分條件） 如果元函數(shù)在點附近具有二階連續(xù)偏導數(shù)，并且是的駐點。記，并記它稱為的階Hesse矩陣。——“牧童”經(jīng)濟模型這是一個經(jīng)濟學家們非常熟悉的經(jīng)濟模型，它指的是，如果一種資源得不到適當?shù)墓芾?，那么這種資源就會被過度使用。每年春天，他們都要決定養(yǎng)多少只羊。如果我們將每只羊的平均價值表示為，那么就可以看作總羊數(shù)的函數(shù)，即，其中。設最大容納量，則當時，；而當時，我們認為。它的變化趨勢如圖2所示。如果購買一只羊的價值為，則第個牧民將得到的利潤就為， 。即使得每個牧民獲得最大利潤的羊的數(shù)目（最優(yōu)飼養(yǎng)量）（）必是此方程組的解，我們稱為最優(yōu)解。從一階最優(yōu)化條件我們還能得到，第個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量是受其他牧民的飼養(yǎng)數(shù)目影響的，因此我們可以認為這樣的是的函數(shù)，即，我們稱其為反應函數(shù)。所以。解方程組（*）就可以得到每一個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量。因此這樣得出的所以牧民最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和并不一定是整個牧場總的最優(yōu)飼養(yǎng)量。它的一階最優(yōu)化條件為。那么。通過將以上兩式相比較，利用和的單調(diào)減少性質(zhì)就能得到，即個人最優(yōu)飼養(yǎng)量的總和比整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量要大。這就是得不到管理的公共資源的悲?。═ragedy of Commons）。（二）多元函數(shù)條件極值條件極值問題是指在條件組，的限制下，求目標函數(shù)的極值。我們以二元函數(shù)為例來說，想要求函數(shù)的極值，其中受約束條件 的限制。所以由在點可微，在點可微，我們就得到。 把代入后又可以得到。這種方法就是Lagrange數(shù)乘法。由二階函數(shù)的Lagrange數(shù)乘法我們總結(jié)出多元函數(shù)Lagrange數(shù)乘法的步驟如下：（1）確定目標函數(shù)和條件組；（2）作Lagrange函數(shù)，其中的個數(shù)為條件組的個數(shù)；（3）求Lagrange函數(shù)的穩(wěn)定點（4）對每個穩(wěn)定點（可能的極值點）據(jù)理說明是否為條件極值點。若將Lagrange乘數(shù)法推廣到一般情形。定理9 設點及個常數(shù)滿足方程組（*），那么當方陣為正定（負定）陣時，就是滿足約束條件的條件極?。ù螅┲迭c，所以就是在約束條件下的條件極?。ù螅┲怠＿@樣，只要把我們所求的的極值跟邊界值加以比較，所得到的結(jié)果中最大的（最小的）就是所考慮問題中的最大值（最小值）。然而在規(guī)模生產(chǎn)中，單位商品的生產(chǎn)成本又是隨著產(chǎn)量的增加而降低的，所以銷售量、成本與售價是互相影響的。舉例來說，一家空調(diào)廠在對某種型號空調(diào)的銷售價格決策時有如下數(shù)據(jù)：(1) 由市場調(diào)查，該地區(qū)對該種空調(diào)的年平均需求量為100萬臺；(2) 去年該廠共售出空調(diào)10萬臺，每臺的售價為40
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