函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用畢業(yè)論文-在線(xiàn)瀏覽
2024-07-29 20:37本頁(yè)面
【正文】 與異號(hào)，那么在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使。證明：設(shè)，則在閉區(qū)間上連續(xù)，并且，根據(jù)零點(diǎn)定理，在區(qū)間內(nèi)至少有一點(diǎn)，使得。 介值性定理定理4 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且，若181。 極值的判定定理 若函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)對(duì)一切有，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)取得極大（?。┲?，稱(chēng)點(diǎn)為極大（?。┲迭c(diǎn)。函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的，如果是函數(shù)的極值點(diǎn)，那只就附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō)，設(shè)函數(shù)在附近有定義，如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有則是函數(shù)的一個(gè)極大值；如果對(duì)附近的所有的點(diǎn)，都有，則是函數(shù)的一個(gè)極小值, 對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)就是（，）。定理5（費(fèi)馬定理）設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)有定義，且在點(diǎn)可導(dǎo)。定理6（極值的第一充分條件）設(shè)在點(diǎn)處連續(xù)，在某領(lǐng)域內(nèi)可導(dǎo)。 ????? 例3 判斷函數(shù)在的單調(diào)性。定理7（極值的第二充分條件）設(shè)函數(shù)在的某領(lǐng)域內(nèi)一階可導(dǎo)，在處二階可導(dǎo)，且。證明：在情形（1），由于，按二階導(dǎo)數(shù)的定義有 根據(jù)函數(shù)極限的局部保號(hào)性，存在的某個(gè)去心鄰域，在該鄰域內(nèi)有 ； 則在時(shí)，在時(shí)。同理，可證明（2）當(dāng)，函數(shù)在處取得極小值。問(wèn)在處是否取得極值？若取得極值，是極大值還是極小值？解：因?yàn)?，所以，即?。在對(duì)這些函數(shù)的學(xué)習(xí)中我們主要結(jié)合了函數(shù)的圖像來(lái)判斷函數(shù)的單調(diào)性。 二次函數(shù)單調(diào)性的判別二次函數(shù)的解析式，其圖形形式為拋物線(xiàn)。 指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的判別指數(shù)函數(shù)的一般解析式,其中且過(guò)點(diǎn)（0,1）。時(shí)，的值越小函數(shù)值下降越快；時(shí)，的值越大數(shù)值增加越快。其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù)，其中當(dāng)時(shí)，函數(shù)在定義域內(nèi)為單調(diào)遞增函數(shù)。 高等數(shù)學(xué)中利用導(dǎo)數(shù)判別函數(shù)單調(diào)性設(shè)函數(shù)在的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量在處取得增量（在點(diǎn)仍在鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量；如果與之比，在時(shí)的極限存在，這稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，并且稱(chēng)這個(gè)極限為函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，記為，即。也就是說(shuō)若導(dǎo)數(shù)大于零，則函數(shù)單調(diào)增加，若導(dǎo)數(shù)小于零，則函數(shù)單調(diào)減小。證明：令，則，則故在上單調(diào)遞增，從而當(dāng)時(shí)， ，于是在 上單調(diào)遞增，即。函數(shù)在點(diǎn)的某領(lǐng)域內(nèi)對(duì)一切有，則稱(chēng)函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，是極小值點(diǎn)。極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為極值點(diǎn)。(2)當(dāng)在什么范圍內(nèi)取值時(shí),曲線(xiàn)軸僅有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)變化時(shí)，變化情況如下表：(－∞，－)－(－，1)1(1，+∞)+0－0+極大值極小值∴的極大值是，極小值是(2)函數(shù)由此可知，取足夠大的正數(shù)時(shí)，有，取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有，所以曲線(xiàn)與軸至少有一個(gè)交點(diǎn)。當(dāng)?shù)臉O小值－10即時(shí)，它的極大值也大于0，因此曲線(xiàn)=與軸僅有一個(gè)交點(diǎn)，它在上。例2 設(shè)函數(shù)，已知是奇函數(shù)。（2）求的單調(diào)區(qū)間與極值。由此可知,函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和；單調(diào)遞減區(qū)間是；進(jìn)而得在時(shí)，取得極大值，極大值為，在時(shí)，取得極小值，極小值為。令。如果函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求的極值的一般步驟為：第一步 解方程組，求出的所有駐點(diǎn)；第二步 求出函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，依次確定各駐點(diǎn)處、的值，根據(jù)的符號(hào)判定駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn). 最后求出函數(shù)在極值點(diǎn)處的極值。解：因?yàn)?，所以令得 故將其代入，可得 或 由于所以，故，又，從而點(diǎn)是的極小值點(diǎn)，極小值為。（拉格朗日數(shù)乘法）拉格朗日數(shù)乘法：設(shè)二元函數(shù)和在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則求在內(nèi)滿(mǎn)足條件的極值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求拉格朗日函數(shù)（其中為某一常數(shù)）的無(wú)條件極值問(wèn)題。拉格朗日數(shù)乘法只給出函數(shù)取極值的必要條件，因此按照這種方法求出來(lái)的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，還需要加以討論。例5 經(jīng)過(guò)點(diǎn)的所有平面中，哪一個(gè)平面與坐標(biāo)面在第一卦限所圍的立體的體積最小．并求此最小體積。函數(shù)極大值和極小值概念是局部性的．如果是函數(shù)的極值點(diǎn)．那只就附近的一個(gè)局部范圍來(lái)說(shuō),是的一個(gè)最大值；如果就的整個(gè)定義域來(lái)說(shuō)，不一定是最大值。所以在求函數(shù)最值時(shí)，一般在求出各個(gè)駐點(diǎn)的值后還要求出邊界上的值。首先求出的解，即求的駐點(diǎn)；算出在這些點(diǎn)的函數(shù)值；若有不可導(dǎo)點(diǎn)，算出在這些點(diǎn)的函數(shù)值；求出。類(lèi)似可推廣到二元函數(shù)。若，求在[－2，2] 上的最大值和最小值。由得或當(dāng)在變化時(shí)，的變化如下表遞增極大值遞減極小值遞增在[－2,2]上的最大值為最小值為。解：是分段函數(shù)，表達(dá)式為： 易得在連續(xù),求導(dǎo)得 由此得時(shí)，在單調(diào)增加；時(shí)， 在單調(diào)減少。在上解，即，得。 單調(diào)性在不等式中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)y=在定義區(qū)間Ⅰ上連續(xù)，在Ⅰ內(nèi)可導(dǎo)，如果在定義區(qū)間Ⅰ內(nèi)那么函數(shù)在Ⅰ上單調(diào)增加；如果在定義區(qū)間Ⅰ內(nèi)那么函數(shù)在Ⅰ上單調(diào)減少，這是函數(shù)的單調(diào)性，也是應(yīng)用在函數(shù)不等式解題中中最基本性質(zhì)。結(jié)論2 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)則有。結(jié)論4 設(shè)在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，
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