導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性-在線瀏覽
2025-02-02 03:50本頁面
【正文】 函數(shù) y=f(x)的值隨著 x的增大而增大 ， 即 0時(shí) ， 函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 （ 2， ） 內(nèi)為增函數(shù)；在區(qū)間 （ ， 2） 內(nèi) ， 切線的斜率為負(fù) ， 函數(shù) y=f(x)的值隨著 x的增大而減小 ， 即 0時(shí) ， 函數(shù) y=f(x) 在區(qū)間 （ ， 2）內(nèi)為減函數(shù) . ??/y ?? ??/y???/y 奎屯王新敞 新疆 設(shè)函數(shù) y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi) y ′ 0，那么 y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的 增函數(shù) ；如果在這個(gè)區(qū)間內(nèi) y ′ 0，那么 y=f(x)為這個(gè)區(qū)間內(nèi)的減函數(shù) . 判斷函數(shù)單調(diào)性的常用方法： （ 1） 定義法 （ 2）導(dǎo)數(shù)法 結(jié)論： y ′ 0 增函數(shù) y ′ 0 減函數(shù) 用導(dǎo)數(shù)法確定函數(shù)的單調(diào)性時(shí)的 步驟 是： （ 1） 求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù) （ 2） 求解不等式 f ′(x)0，求得其解集， 再根據(jù)解集寫出單調(diào) 遞增 區(qū)間 （ 3） 求解不等式 f ′(x)0，求得其解集， 再根據(jù)解集寫出單調(diào) 遞減 區(qū)間 注： 單調(diào)區(qū)間不以“ 并集 ”出現(xiàn)。x－ 2=－ ， x＞ 0， 21∴ x2＞ 0， ∴ － ＜ 0. ∴ f′(x)＜ 0， 1x∴ f(x)= 在 (0， +∞)上是減函數(shù) . 證明：令 f(x)=e2x－ 1－ 2x. ∴ f′(x)=2e2x－ 2=2(e2x－ 1) ∵ x＞ 0， ∴ e2x＞ e0=1， ∴ 2(e2x－ 1)＞ 0, 即 f′(x)＞ 0 ∴ f(x)=e2x－ 1－ 2x在 (0， +∞)上是增函數(shù) . ∵ f(0)=e0－ 1－ 0=0. ∴ 當(dāng) x＞ 0時(shí) ， f(x)＞ f(0)=0， 即 e2x－ 1－ 2x＞ 0. ∴ 1+2x＜ e2x 例 4當(dāng) x＞ 0時(shí)，證明不等式： 1+2x＜ e2x. 分析：假設(shè)令 f(x)=e2x－ 1－ 2x.∵ f(0)=e0－ 1－ 0=0, 如果能夠證明 f(x)在 (0， +∞)上是增函數(shù)，那么f(x)＞ 0，則不等式就可以證明 . 點(diǎn)評(píng)： 所以以后要證明不等式時(shí)，可以利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行證明，把特殊點(diǎn)找出來使函數(shù)的值為 0. 22 1 1f x? ? = x +1xxOy∴ y=x+ 的單調(diào)減區(qū)間是 (－ 1， 0)和 (0， 1) x1例 5已知函數(shù) y
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